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关于欧拉公式的证明

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关于 eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0 的简单证明

前置知识

关于 ee

建议已学习自然常数及导数的跳过
有极限
lim⁡x→∞(1+1x)x\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x
这个极限的结果即为 ee.

关于导数

称一个函数 f(x)f(x) 的导数为 f′(x)f'(x) 或 ddxf(x)\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x). nn 阶导数为 f(n)(x)f^{(n)}(x)
一个函数的导数为函数的瞬时变化率。
在区间 [x,x+Δx]\left[x,x+\Delta x\right] 中，函数的变化率为 f(x+Δx)−f(x)Δx\dfrac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
当 Δx\Delta x 趋向于 0 时，此时的变化率就为这个函数的导数。用极限表示，即为
f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx{f}'{(x)}=\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}
关于导数，也有如下公式
C′=0(f±g)′=f′±g′(fg)′=f′g+fg′(xn)′=nxn−1C'=0\\ (f\pm g)'=f'\pm g' \\ (fg)'= f'g+fg' \\ (x^n)'=nx^{n-1} \\
定义函数 f(x)=exf(x)=e^x，则 f′(x){f}'{(x)} 为
lim⁡Δx→0ex+Δx−exΔx\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{e^{x + \Delta x}-e^x}{\Delta x}
即
lim⁡Δx→0ex⋅eΔx−1Δx\lim_{\Delta x \to 0} e^{x}\cdot\dfrac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}
而中间的极限部分的结果为 11，满足这个条件的数就是 ee，其约等于 2.7182.718. 也称其为自然常数

关于 ii

建议学习了虚数及复数的跳过
关于一元二次方程 x2+1=0x^2+1=0，判别式 Δ=02−4=−4<0\Delta=0^2-4=-4<0，意味着这个方程在实数域内无解。
定义虚数单位 i2=−1i^2=-1，即 i=+−1i=+\sqrt{-1}，则上述方程的解为
{x1=ix2=−i\begin{cases} x_1=i \\ x_2=-i \\ \end{cases}
关于 ii 的 nn 次方，以下为 n∈[1,4]n\in[1,4] 时的结果
ii 的 nn 次方结果
i1i^1ii
i2i^2−1-1
i3i^3−i-i
i4i^411
当 n>4n > 4 时，ini^n 的结果即为 in mod 4i^{n \bmod4}。
设 n=4k+m(0≤m<4,m,k∈N∗)n=4k+m(0\le m<4,m,k\in \mathbb{N^*})
则 in=i4k+m=i4k×im=(i4)k×im=1×im=imi^n=i^{4k+m}=i^{4k}\times i^m=(i^4)^k\times i^m=1\times i^m=i^m
其中 m=n mod 4m=n\bmod 4.

关于 π\pi

建议学习过圆周率及关于圆的基本知识的跳过
π\pi 为圆形中周长与直径的比值，是无理数。
用 π\pi 可求圆形的面积和周长，具体的
C=2πr=dπC= 2\pi r=d\pi \\ S=πr2S=\pi r^2 \\
其中 rr 为半径，dd 为直径。

关于正弦的导数及其规律

关于正弦函数的导数，即 ddxsin⁡x\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x，导数即为
lim⁡Δx→0sin⁡(x+Δx)−sin⁡xΔx\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}
展开 sin⁡(x+Δx)\sin(x+\Delta x)，得
lim⁡Δx→0sin⁡xcos⁡Δx+cos⁡xsin⁡Δx−sin⁡xΔx\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x-\sin x}{\Delta x}
合并同类项，得
lim⁡Δx→0sin⁡x(cos⁡Δx−1)Δx⏟(sine I)+lim⁡Δx→0cos⁡xsin⁡ΔxΔx⏟(sine II)\underset{(\text{sine I})}{\underbrace{\lim_{\Delta x \to 0}\sin x\dfrac{(\cos \Delta x-1)}{\Delta x}}}+\underset{(\text{sine II})}{\underbrace{\lim_{\Delta x \to 0}\cos x\dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}}}

计算 (sine II)(\text{sine II})

实例图
如上图，∠ADB=∠ADC=Δx\angle ADB=\angle ADC=\Delta x，AD=1AD=1
当 Δx\Delta x 趋向于 00 时，ACAC 也趋向于 AB⌢\stackrel\frown{AB}
其中 AC=sin⁡ΔxAC=\sin \Delta x，AB=ΔxAB=\Delta x
故 lim⁡Δx→0sin⁡ΔxΔx=1\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1
所以 lim⁡Δx→0cos⁡xsin⁡ΔxΔx=1\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\cos x\dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}=1

计算 (sine I)(\text{sine I})

上述中 lim⁡Δx→0sin⁡ΔxΔx=1\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}=1，则 lim⁡Δx→0(sin⁡Δx)2(Δx)2=1\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{(\sin \Delta x)^2}{{(\Delta x)}^{2}}=1.
将 (sin⁡Δx)2(\sin \Delta x)^2 替换为 1−(cos⁡Δx)21-(\cos \Delta x)^2，则
lim⁡Δx→01−(cos⁡Δx)2(Δx)2=1\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{1-(\cos \Delta x)^2}{{(\Delta x)}^{2}}=1
运用平方差公式，得
lim⁡Δx→0(1−cos⁡Δx)(1+cos⁡Δx)(Δx)2=1\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{(1-\cos \Delta x)(1+\cos \Delta x)}{{(\Delta x)}^{2}}=1
展开，得
lim⁡Δx→01−cos⁡ΔxΔx⋅lim⁡Δx→01+cos⁡ΔxΔx=1\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{1-\cos \Delta x}{\Delta x}\cdot\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{1+\cos \Delta x}{{\Delta x}}=1
将 lim⁡Δx→01+cos⁡ΔxΔx\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{1+\cos \Delta x}{{\Delta x}} 移至右边，得
lim⁡Δx→01−cos⁡ΔxΔx=lim⁡Δx→011+cos⁡ΔxΔx\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1-\cos\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1}{\frac{1+\cos\Delta x}{\Delta x}}
整理右边，得
lim⁡Δx→01−cos⁡ΔxΔx=lim⁡Δx→0Δx1+cos⁡Δx\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1-\cos \Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta x}{1+\cos\Delta x}
将右边带入 Δx=0\Delta x=0，得
lim⁡Δx→01−cos⁡ΔxΔx=01+cos⁡0\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1-\cos\Delta x}{\Delta x}=\dfrac{0}{1+\cos 0}
整理右边，得
lim⁡Δx→01−cos⁡ΔxΔx=01\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1-\cos\Delta x}{\Delta x}=\dfrac{0}{1}
即
lim⁡Δx→01−cos⁡ΔxΔx=0\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1-\cos\Delta x}{\Delta x}=0
两边同时乘 −1-1，得
lim⁡Δx→0−1+cos⁡ΔxΔx=0\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{-1+\cos \Delta x}{\Delta x}=0
即
lim⁡Δx→0cos⁡Δx−1Δx=0\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}=0
两边同时乘上 sin⁡x\sin x，得
lim⁡Δx→0sin⁡xcos⁡Δx−1Δx=0\lim_{\Delta x\to 0}\sin x\dfrac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}=0

正弦的导数

带入原式，可得
0sin⁡x+1cos⁡x=cos⁡x0\sin x+1\cos x=\cos x

关于余弦的导数

关于余弦的导数，即 ddxcos⁡x\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x，导数即为
lim⁡Δx→0cos⁡(x+Δx)−cos⁡xΔx\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}
展开 cos⁡(x+Δx)\cos(x+\Delta x)，得
lim⁡Δx→0cos⁡xcos⁡Δx−sin⁡xsin⁡Δx−cos⁡xΔx\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\cos x\cos \Delta x-\sin x\sin \Delta x-\cos x}{\Delta x}
合并同类项，得
lim⁡Δx→0cos⁡xcos⁡Δx−1Δx⏟(cosine I)−lim⁡Δx→0sin⁡xsin⁡ΔxΔx⏟(cosine II)\underset{(\text{cosine I})}{\underbrace{\lim_{\Delta x\to 0}\cos x\dfrac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}}}-\underset{(\text{cosine II})}{\underbrace{\lim_{\Delta x\to 0}\sin x\dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}}}

计算 (cosine I)(\text{cosine I})

联立 (sine I)(\text{sine I}) 中内容可知，
lim⁡Δx→0cos⁡Δx−1Δx=0\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}=0
两边同时乘上 cos⁡x\cos x，得
lim⁡Δx→0cos⁡xcos⁡Δx−1Δx=0\lim_{\Delta x\to 0} \cos x\dfrac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}=0

计算 (cosine II)(\text{cosine II})

联立 (sine II)(\text{sine II}) 中内容可知，
lim⁡Δx→0sin⁡ΔxΔx=1\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1
两边同时乘上 sin⁡x\sin x，得
lim⁡Δx→0sin⁡xsin⁡ΔxΔx=sin⁡x\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\sin x\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}=\sin x

余弦函数的导数

代入原式，得
0−sin⁡x=−sin⁡x0-\sin x = -\sin x

正弦、余弦导数的规律

观察正弦函数的导数，称正弦函数的 nn 阶导数为 (sin⁡x)(n){(\sin x)}^{(n)}。
n(0≤n≤4)n(0\le n\le 4)正弦函数的 nn 阶导数
00sin⁡x\sin x
11cos⁡x\cos x
22−sin⁡x-\sin x
33−cos⁡x-\cos x
44sin⁡x\sin x
观察发现，正弦函数的 nn 阶导数从 44 开始循环，具体地，
(sin⁡x)(n)=(sin⁡x)(n mod 4)(\sin x)^{(n)}=(\sin x)^{(n\bmod 4)}
而对于余弦函数的导数，与正弦函数类似，列表：
n(0≤n≤4)n(0\le n\le 4)余弦函数的 nn 阶导数
00cos⁡x\cos x
11−sin⁡x-\sin x
22−cos⁡x-\cos x
33sin⁡x\sin x
44cos⁡x\cos x
余弦函数的导数也是从 44 开始循环，具体地
(cos⁡x)(n)=(cos⁡x)n mod 4(\cos x)^{(n)}=(\cos x)^{n\bmod 4}

正题

不妨设
sin⁡x=a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5+⋯\sin x = a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+\cdots
代入 x=0x=0，得
a=0a=0
两边同时求导，得
cos⁡x=b+2cx+3dx2+4ex3+5fx4+⋯\cos x=b+2cx+3dx^2+4ex^3+5fx^4+\cdots
代入 x=0x=0，得
b=1b=1
两边再次同时求导，得
−sin⁡x=2c+6dx+12ex2+20fx3+⋯-\sin x=2c+6dx+12ex^2+20fx^3+\cdots
代入 x=0x=0，得
c=0c=0
重复以上过程，得
sin⁡x=x−16x3+1120x5−⋯\sin x = x-\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{120}x^5-\cdots
观察发现，上式可写为
sin⁡x=11!x1+(−13!)x3+15!x5+⋯\sin x = \dfrac{1}{1!}x^1+\left(-\dfrac{1}{3!}\right)x^3+\dfrac{1}{5!}x^5+\cdots
其中每一单项式的系数的正负性与 xx 的次数有关：
  • 当 ⌊x2⌋\left\lfloor\dfrac{x}{2}\right\rfloor 为奇数时，系数为负数；
  • 当 ⌊x2⌋\left\lfloor\dfrac{x}{2}\right\rfloor 为偶数时，系数为正数。
于是，
sin⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
与正弦函数相同，设
cos⁡x=a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5+⋯\cos x=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+\cdots
代入 x=0x=0，得
a=1a=1
两边同时求导，得
−sin⁡x=b+2cx+3dx2+4ex3+5fx4+⋯-\sin x=b+2cx+3dx^2+4ex^3+5fx^4+\cdots
代入 x=0x=0，得
b=0b=0
两边再次同时求导，得
−cos⁡x=2c+6dx+12ex2+20fx3+⋯-\cos x=2c+6dx+12ex^2+20fx^3+\cdots
代入 x=0x=0，得
c=−12c=-\dfrac{1}{2}
重复以上过程，得到
cos⁡x=1−12x2+124x4−⋯\cos x=1-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{24}x^4-\cdots
观察发现，上式可写为
cos⁡x=10!x0+(−12!)x2+14!x4+⋯\cos x=\dfrac{1}{0!}x^0+\left(-\dfrac{1}{2!}\right)x^2+\dfrac{1}{4!}x^4+\cdots
其中每一单项式的系数的正负性与 xx 的次数有关：
  • 当 x2\dfrac{x}{2} 为奇数时，系数为负数；
  • 当 x2\dfrac{x}{2} 为偶数时，系数为正数。
于是
cos⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}
又设
ex=a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5+⋯e^x=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+\cdots
代入 x=0x=0，得
a=1a=1
两边同时求导，得
ex=b+2cx+3dx2+4ex3+5fx4+⋯e^x=b+2cx+3dx^2+4ex^3+5fx^4+\cdots
代入 x=0x=0，得
b=1b=1
两边再次同时求导，得
ex=2c+6dx+12ex2+20fx3⋯e^x=2c+6dx+12ex^2+20fx^3\cdots
代入 x=0x=0，得
c=12c=\dfrac{1}{2}
重复以上过程，最终得
ex=1+x+12x2+16x3+124x4+1120x5+⋯e^x=1+x+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{24}x^4+\dfrac{1}{120}x^5+\cdots
观察上式，可写为
ex=10!x0+11!x1+12!x2+13!x3+14!x4+15!x5+⋯e^x=\dfrac{1}{0!}x^0+\dfrac{1}{1!}x^1+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{4!}x^4+\dfrac{1}{5!}x^5+\cdots
则
ex=∑n=0∞1n!xne^x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}x^n
设 x=iθ∈Cx=i\theta \in \mathbb{C}，其中 θ∈R\theta \in R
观察 exe^x 的展开式，将其分为偶数部分和奇数部分，则
ex=(∑n=0∞1(2n)!x2n)+(∑n=0∞1(2n+1)!x2n+1)e^x=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n)!}x^{2n}\right)+\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}\right)
展开，得
eiθ=(∑n=0∞1(2n)!i2nθ2n)+(∑n=0∞1(2n+1)!i2n+1θ2n+1)e^{i\theta}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n)!}i^{2n}\theta^{2n}\right)+\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)!}i^{2n+1}\theta^{2n+1}\right)
再次展开，得
eiθ=(∑n=0∞(−1)n(2n)!θ2n)+(∑n=0∞(−1)n(2n+1)!iθ2n+1)e^{i\theta}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n}\right)+\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}i\theta^{2n+1}\right)
将 ii 移至括号外，则
eiθ=(∑n=0∞(−1)n(2n)!θ2n)+i(∑n=0∞(−1)n(2n+1)!θ2n+1)e^{i\theta}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n}\right)+i\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}\theta^{2n+1}\right)
联立上文的 sin⁡x\sin x 与 cos⁡x\cos x 的展开式
sin⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1cos⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\ \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \\
代入，得
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta
代入 θ=π\theta = \pi，得
eiπ=cosπ+isin⁡π=−1+0=−1e^{i\pi}=cos \pi + i\sin \pi=-1+0=-1
两边同时加 11，得
eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0
所以:
eiπ+1=0\boxed{e^{i\pi} + 1 = 0}
证毕.

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