二次函数

第一部分：二次函数与三角形结合（10题）

1. 已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$ 与直线$y = x + 1$交于A、B两点，与y轴交于点C。
   （1）求△ABC的面积；
   （2）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由。
2. 抛物线 $y = -x^2 + 4x$ 与x轴交于O、B两点，顶点为A，直线 $y = kx$ 过点A，与抛物线交于另一点C。
   （1）求k的值；
   （2）求△OAC的面积。
3. 抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 过点(0,3)，顶点为(1,4)，直线 $y = 2x + m$ 与抛物线交于M、N两点，且△MON为直角三角形，求m的值。
4. 抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，直线 $y = x - 1$ 交抛物线于C、D两点，求△ACD的周长。
5. 抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 的顶点为D，与y轴交于C，直线 $y = x$ 交抛物线于A、B两点，判断△ABD的形状并说明理由。

第二部分：二次函数与四边形结合（10题）

6. 抛物线 $y = x^2 - 4x + 3$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，点D为抛物线上一点且CD平行于x轴。
   （1）求四边形ACBD的面积；
   （2）在抛物线上是否存在点E，使以A、B、C、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点E坐标。
7. 抛物线 $y = ax^2 + bx$ 过点(2,0)和(4,0)，直线 $y = 2x - 8$ 与抛物线交于M、N两点，P为抛物线顶点。
   （1）求抛物线的解析式；
   （2）判断四边形OMPN的形状，并求其面积。
8. 抛物线 $y = x^2 - 2x - 8$ 与x轴交于A、B两点，点C为抛物线上一点且横坐标为4，直线AC交y轴于D。
   （1）求点D坐标；
   （2）若点E在抛物线上，且四边形ADBE为矩形，求点E坐标。
9. 抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 与直线 $y = x + 1$ 交于A、B两点，点C为抛物线上一点且△ABC为等腰梯形，求点C坐标。
10. 抛物线 $y = x^2$ 上两点A(1,1)、B(-1,1)，直线 $y = kx + b$ 交抛物线于C、D两点，且四边形ACBD为菱形，求k和b的值。

第三部分：动态几何与最值问题（10题）

11. 抛物线 $y = x^2 - 4x$ 上有一动点P，直线 $y = x$ 上有一动点Q，当PQ平行于y轴时，求PQ的最大长度。
12. 抛物线 $y = -x^2 + 4x$ 与x轴交于O、B两点，点A为抛物线上一点，直线OA上有一动点C，使得四边形OABC为平行四边形，求点A的坐标。
13. 抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$ 上有一动点P，过P作x轴的垂线交直线 $y = x - 1$ 于Q，求△OPQ面积的最大值。
14. 抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点为(1,2)，且与直线 $y = 2x$ 交于M、N两点，当△OMN的面积最小时，求抛物线的解析式。
15. 抛物线 $y = x^2$ 上两点A(m, m²)、B(n, n²)，直线AB与y轴交于C，若四边形OACB为正方形，求m和n的值。

第四部分：综合压轴题（10题）

16. 抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$ 与x轴交于A、B两点，点C为抛物线上一点，直线AC交y轴于D，过D作直线平行于x轴交抛物线于E，连接BE。
    （1）证明：BE平分∠ABC；
    （2）若△BDE的面积为6，求点C坐标。
17. 抛物线 $y = -x^2 + 4x$ 与直线 $y = kx$ 交于O、M两点，点N为抛物线上一点，且△OMN为等边三角形，求k的值。
18. 抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 过点(0,0)、(4,0)，顶点为P，直线 $y = 2x - 8$ 与抛物线交于Q、R两点，若四边形PQOR为菱形，求抛物线的解析式。
19. 抛物线 $y = x^2 - 4x + 3$ 与直线 $y = -x + 5$ 交于A、B两点，点C在抛物线上运动，求使四边形OACB为凸四边形时点C的横坐标范围。
20. 抛物线 $y = x^2$ 上两点A(a, a²)、B(b, b²)，直线AB交y轴于C，若△ABC为直角三角形且∠ACB=90°，求a与b的关系式。

使用建议

1. 分阶段练习：每天完成5题，逐步提升综合解题能力。
2. 总结模型：如“平行四边形存在性”“面积最值”“直角三角形判定”等固定解题套路。
3. 画图分析：动态题务必画图理解几何关系。