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数学分析

金金庆涵
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一、实数

实数公理

  1. 实数集（R\mathbb R）是域（域公理），被称为实数域（记作：(R,+,⋅)(\mathbb R, +, \cdot)，简记为 R\mathbb R）.
    域的性质：对实数域有
    1. ∀a,b,c∈R\forall a, b, c \in \mathbb R，有 (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c) （加法结合律）
    2. ∃!x∈R\exists ! x \in \mathbb R，∀a∈R\forall a \in \mathbb R，有x+a=a+x=ax + a = a + x = a，此时称其为加法单位元（加法零元）记作 "0""0"
    3. ∀a∈R\forall a \in \mathbb R，∃!b∈R\exists! b \in \mathbb R, 使得 a+b=0a + b = 0 称 bb 为 aa 的加法逆元，记作 −a-a
    4. ∀a,b∈R\forall a, b \in \mathbb R, a+b=b+aa + b = b + a (加法交换律)
    5. ∀a,b,c∈R\forall a, b, c \in \mathbb R, (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) （乘法结合律）
    6. ∀a,b,c∈R\forall a, b, c \in \mathbb R，(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c （乘法对加法的交换律）
    7. ∃!x∈R∖{0}\exist! x \in \mathbb R \setminus\{0\}，∀a∈R\forall a \in \mathbb R， 使得 x⋅a=a⋅x=ax \cdot a = a \cdot x = a，称 xx 为乘法单位元，又叫乘法幺元，记作 "1""1"
    8. ∀x∈R∖{0}\forall x \in \mathbb R \setminus \{ 0 \}，∃!y∈R∖{0}\exists! y \in \mathbb R \setminus \{ 0 \} ，使得 x⋅y=y⋅x=1x \cdot y = y \cdot x = 1，称y为x的逆元，记作 x−1x^{-1}
    9. ∀x,y∈R\forall x, y \in \mathbb R，有x⋅y=y⋅xx \cdot y = y \cdot x （乘法交换律）
  2. 实数集有序 ∀a,b∈R\forall a, b \in \mathbb R，有 a<b,a>b,a=ba < b, a > b, a = b 三种情况有且仅有一种成立
  3. 实数完备性（连续性）
    我们把以下定理当做实数完备性定理：
    0.戴德金原理 Dedekind completenes
    以下还有关于连续性的基本定理：
    1.确界存在原理 least-upper-bound property 2.单调有界原理 monotone convergence theorem 3.闭区间套定理 nested intervals theorem 4.有限覆盖定理 Heine-Borel theorem 5.聚点定理 Bolzano-Weierstrass theorem 6.致密性定理 Bolzano-Weierstrass theorem 7.柯西收敛原理 Cauchy completeness 8.介值原理 intermediate value theorem 9.连通性原理 connectedness of reals 还有实数的重要性质 10.阿基米德性质 Archimedean property
命题逻辑关系 0  ⟺  1  ⟺  2  ⟺  3+10  ⟺  4  ⟺  5  ⟺  6  ⟺  7+10  ⟺  8  ⟺  90 \iff 1 \iff 2 \iff 3 + 10 \iff 4 \iff 5 \iff 6 \iff 7 + 10 \iff 8 \iff 9 3  ⟺  93 \iff 9

戴德金分割定理

现表述戴德金定理的内容：
  1. 戴德金原理
对 ∀A,B⊆R\forall A, B \subseteq \mathbb R，A≠∅A \ne \emptyset ，且 B≠∅B \ne \emptyset，若对 ∀a∈A∀b∈B\forall a \in A \forall b \in B，有 a≤ba \le b，则 ∃c∈R\exists c \in \mathbb R，使得 a≤c≤ba \le c \le b
  ⟺  \iff
∀A,B⊆R\forall A, B \subseteq \mathbb R，A≠∅A \ne \emptyset ，且 B≠∅B \ne \emptyset，若 A∪B=RA \cup B = \mathbb R，且 ∀a∈A∀b∈B\forall a \in A \forall b \in B，有 a≤ba \le b，则∃c∈R\exists c \in \mathbb R，使得 a≤c≤ba \le c \le b

有界集和确界

有界

E⊆RE \subseteq \mathbb R，E≠∅E \ne \emptyset.
若存在 M∈RM \in R，使得 ∀x∈E\forall x \in E，x≤Mx \le M，称 EE 是有上界的， MM 为 EE 的一个上界;
若存在 m∈Rm \in R，使得 ∀x∈E\forall x \in E，x≤Mx \le M，称 EE 是有下界的， MM 为 EE 的一个下界;
EE 既有上界又有下界则称 MM 是有界的.
显然，EE 有界   ⟺  \iff ∃M>0\exists M > 0 ， ∀x∈E\forall x \in E， 有 ∣x∣≤M|x| \le M

确界

E⊆RE \subseteq \mathbb R 且 E≠∅E \ne \emptyset.
若 ∃M∈R\exists M \in \mathbb R 满足:
(1). M 为 E 的一个上界，即 ∀x∈E\forall x \in E ，有 x≤Mx \le M;
(2). ∀ϵ>0∃x′∈E,x′>M−ϵ\forall \epsilon > 0 \exists x' \in E, x' > M - \epsilon
称 MM 为 EE 的上确界，记 M=sup⁡E=sup⁡x∈E{x}M = \sup E = \sup \limits _{x \in E} \{x\}
若 ∃m∈R\exists m \in \mathbb R 满足:
(1). m 为 E 的一个下界，即 ∀x∈E，有x≥m\forall x \in E ，有 x \ge m;
(2). ∀ϵ>0∃x′∈E,x′<m+ϵ\forall \epsilon > 0 \exists x' \in E, x' < m + \epsilon
称 MM 为 EE 的上确界，记 M=inf⁡E=inf⁡x∈E{x}M = \inf E = \inf \limits _{x \in E} \{x\}
  1. 确界存在定理 非空有上界的实数集必有上确界，非空有下界的实数集必有下确界
    ⊳\vartriangleright 只需证上确界的情形，下确界情形完全相似
    设 EE 为非空有上界的实数集.若 E 中存在最大数 M 时，则
    sup⁡E=max⁡E=M\sup E = \max E = M
    假设 E 中没有最大数，对 R\mathbb R 作分划：
    B 是由 E 的所有上界所组成的集合，而 A=R∖B,A = \mathbb R \setminus{B},
    E的有界  ⟹  B≠∅E≠∅  ⟹  A∀a∈A,b∈B,a<b,A中无最大数}  ⟹  (A∣B)是的一个分划  ⟹  B中存在最小数M,即M=sup⁡E.⊲\left. \begin{array}{l} E 的有界 \implies B \ne \emptyset \\ E \ne \emptyset \implies A \\ \forall a \in A, b \in B, a < b, A 中无最大数 \\ \end{array} \right\} \implies (A | B) 是 \mathbb 的一个分划 \implies \\ B 中存在最小数 M, 即 M = \sup E.\vartriangleleft

一些不等式

∀x,y∈R\forall x, y \in \mathbb R, 都有 ∣x+y∣≥∣x∣+∣y∣|x + y| \ge |x| + |y|，∣∣x∣−∣y∣∣≥∣x−y∣||x| - |y|| \ge |x - y| 三角不等式
∀x≥−1∀n∈N∗\forall x \ge -1 \forall n \in \mathbb N^*，(1+x)n≥1+nx (1 + x)^n \ge 1 + nx（伯努利不等式）
⊳\vartriangleright 对于 n=1n = 1，显然成立。假设 n=kn = k 时，成立，则对 n=k+1n = k + 1 时，有
(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x.(当且仅当x=0时等式成立)\begin{aligned} (1 + x) ^ {k + 1} &= (1 + x) ^ {k} (1 + x) \\ &\ge (1 + k x) (1 + x) \\ &= 1 + (k + 1)x + kx^2 \\ &\ge 1 + (k + 1)x.\pod{当且仅当 x = 0 时等式成立} \end{aligned} \\
则对 ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb N^*，不等式对一切正整数 nn 成立. ⊲\vartriangleleft
∀n∈N∗\forall n \in \mathbb N ^ *，ai≥0(i=1,2...n)a_i \ge 0 \pod {i = 1, 2 ... n} 有 ∏i=1nain≤∑i=1nain.\sqrt[n] {\prod \limits ^{n}_{i = 1} a_i} \le \frac{\sum\limits_{i = 1}^na_i}{n}.
⊳\vartriangleright 当n=1n = 1时，不等式显然成立
设n=kn = k时，不等式成立，当n=k+1时n = k + 1时，ak+1=Δmax⁡i=1k+1aia_{k + 1}\xlongequal{\Delta} \max\limits^{k + 1}_{i = 1}a_i，y=Δ∑i=1kaiky \xlongequal {\Delta} \frac{\sum\limits^{k}_{i=1}a_i}{k}，则ak+1≥y≥∏i=1k−1aik−1a_{k + 1} \ge y \ge \sqrt[k - 1]{\prod \limits _{i = 1} ^ {k - 1} {a_i}}
从而有
(∑i=1k+1aik+1)k+1=(y+xk+1−yk+1)k+1=yk+1+(k+1)ykxk+1−yk+1+⋯+(xk+1−yk+1)k+1≥yk+1+(k+1)ykxk+1−yk+1=ykxk+1≥∏i=1k+1ai\begin{aligned}(\dfrac{\sum \limits _{i = 1} ^ {k + 1}a_i}{k + 1}) ^ {k + 1} &= (y + \dfrac{x_{k + 1} - y}{k + 1}) ^ {k + 1} \\ &= y ^ {k + 1} + (k + 1)y^k\frac{x_{k + 1} - y}{k + 1} + \dots + (\dfrac{x_{k + 1} - y}{k + 1}) ^ {k + 1} \\ &\ge y ^ {k + 1} + (k + 1)y^{k}\frac{x_{k + 1} - y}{k + 1} \\ &= y^{k}x_{k + 1} \\ &\ge \prod\limits_{i = 1}^{k + 1} a_i \end{aligned}
即有 ∏i=1nain≤∑i=1nain\sqrt[n] {\prod \limits ^{n}_{i = 1} a_i} \le \frac{\sum\limits_{i = 1}^na_i}{n}，不等式对一切正整数 nn 成立. ⊲\vartriangleleft

二、序列极限

序列是一个函数 f:N∗→Rf:\mathbb N^* \to \mathbb R，常记为 {xn}\{x_n\}，xnx_n 称为通项，也将构成一个序列所有数的集合记为 {xn}\{x_n\}，此时 {xn}=f(N)\{x_n\} = f(\mathbb N).

序列极限定义

设 {xn}\{x_n\} 为一个序列. 若 ∃a∈R∀ϵ>0∃N∈N\exists a \in \mathbb R \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb N ，当 n>Nn > N 时，有 ∣xn−a∣<ϵ|x_n - a| < \epsilon ，称该序列是收敛的，并称 aa 为该序列的极限，或称序列 {xn}\{x_n\} 收敛于 aa，记作 lim⁡n→∞xn=a\lim \limits _ {n \to \infty} x_n = a 或 xn→a(n→∞)x_n \to a \pod{n \to \infty}. 若不存在，则称之为发散序列.

无穷小量

序列 {xn}\{x_n\} . 若 xn→0(n→∞)x_n \to 0 \pod{n \to \infty} ，则称序列 {xn}\{x_n\} 为无穷小量，记为 xn=o(1)(n→∞)x_n = o(1) \pod {n \to \infty}.

无穷小量的基本性质：

序列 {x_n}
(1) xn=o(1)(n→∞)  ⟺  ∣xn∣=o(1)(n→∞)x_n = o(1) \pod {n \to \infty} \iff |x_n| = o(1) \pod {n \to \infty}
(2) xn=o(1)(n→∞)x_n = o(1) \pod {n \to \infty} ， MM 是一个常数   ⟺  Mxn=o(1)(n→∞)\iff Mx_n = o(1) \pod {n \to \infty}
(3) xn−a=o(1)(n→∞)x_n - a = o(1) \pod {n \to \infty} ，  ⟺  lim⁡n→∞\iff \lim \limits _{n \to \infty}

无穷大量

序列 {xn}\{x_n\} . ∀M>0∃N∈N∗\forall M > 0 \exists N \in \mathbb N^* ，当 n>Nn > N 时，有 xn>Mx_n > M ，则称 {xn}\{x_n\} 为正无穷大量，也称 {xn}\{x_n\} 的极限为 +∞+\infty，记 lim⁡xn=+∞\lim \limits x_n = + \infty ∀m<0∃N∈N∗\forall m < 0 \exists N \in \mathbb N^* ，当 n>Nn > N 时，有 xn<mx_n < m ，则称 {xn}\{x_n\} 为负无穷大量，也称 {xn}\{x_n\} 的极限为 −∞-\infty. 记 lim⁡xn=−∞\lim \limits x_n = - \infty {∣xn∣}\{\left|x_n\right|\} 是正无穷大量，则称 {xn}\{x_n\} 为无穷大量，也称 {xn}\{x_n\} 的极限为 ∞\infty. 记 lim⁡xn=∞\lim \limits x_n = \infty

函数收敛

序列有有穷极限 aa 时，说它收敛于 aa； 序列有无穷极限 aa 时，说它发散到 ∞,+∞或−∞\infty, +\infty 或 -\infty 极限存在指有穷极限，包括无穷极限说其广义极限存在，序列是广义收敛的

无穷大量和无穷小量的关系

定理：{x_n} 是无穷小量 \iff \left{\dfrac{1}{x_n}\right} 是

三、函数

对集合 X⊆RX \subseteq \mathbb R，存在某种对应法则 ff，∀x∈X∃!y∈R\forall x \in X \exists! y \in \mathbb R 与之对应，称对应法则 ff 为从 XX 到 R\mathbb R 的一个函数，记作 f(x)f(x)
f:X→Ra↦yf(x)\begin{aligned}f : X & \to \mathbb R \\ a &\mapsto y f(x) \end{aligned}
称 yy 为ff在点xx的值，XX 为函数 ff 的定义域，数集 {f(x)∣x∈X}\{f(x)| x \in X \} 称为函数 ff 的值域，记作f(X)f(X)；xx 称作自变量，yy 称作因变量.
设 y=f(x)y = f(x) 是定义在 XX 上的一个函数，称平面点集 {(x,y)∣y=f(x),x∈X}\{\left( x, y\right)| y = f(x), x \in X \} 称为该函数的图像.

初等函数

称
  1. 常值函数 y=Cy = C
  2. 幂函数 y=xα(α>0)y = x ^ \alpha \pod {\alpha > 0}
  3. 指数函数 y=ax(a>0,a≠1)y = a ^ x \pod {a > 0, a \ne 1}
  4. 对数函数 y=log⁡ax(a>0,a≠1)y = \log _ a x \pod{a > 0, a \ne 1}
  5. 三角函数 y=sin⁡x,y=cos⁡x,y=tan⁡x,y=cot⁡x,y=sec⁡x,y=csc⁡xy = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, y = \cot x, y = \sec x, y = \csc x
  6. 反三角函数 y=arcsin⁡x,y=arccos⁡x,y=arctan⁡x,y=\arccotx,y=\arccsecx,y=\arccscxy = \arcsin x, y = \arccos x, y = \arctan x, y = \arccot x, y = \arccsec x, y = \arccsc x
为基本初等函数

初等函数构造方法

1. 函数的四则运算

设 y=fj(x),x∈Xj⊆R(j=1,2)y = f_j(x), x \in X_j \subseteq R \pod{j = 1, 2} 为两个已知函数，且 X=X1∩X2≠∅X = X_1 \cap X_2 \ne \emptyset，
有
(f1±f2)(x)=f1(x)±f2(x),x∈X;(f1f2)(x)=f1(x)f2(x),x∈X;f1f2(x)=f1(x)f2(x)(f2(x)≠0),x∈X.\begin{aligned} &(f_1 \pm f_2) (x) = f_1(x) \pm f_2(x), \quad x \in X; \\ &(f_1 f_2) (x) = f_1(x) f_2(x), \quad x \in X; \\ &\frac{f_1}{f_2} (x) = \frac{f_1(x)}{f_2(x)} \pod{f_2(x) \neq 0}, \quad x \in X. \end{aligned}

2. 函数的限制和延拓

f(x),x∈X1f(x), x \in X_1 和 g(x),x∈X2g(x), x \in X_2，满足：X1∈X2X_1 \in X_2，且 f(x),≡g(x),∀x∈X1f(x) ,\equiv g(x), \forall x \in X_1，称 f(x)f(x) 为 g(x)g(x) 在 X1X_1 上的限制， g(x)g(x) 为 f(∣x)f(|x) 在 X2X_2 上的延拓.

3. 函数的复合

设 y=fj(x),x∈Xj⊆R(j=1,2)y = f_j(x), x \in X_j \subseteq R \pod{j = 1, 2}，若Y1=f1(X1)⊆X2Y_1 = f_1(X_1) \subseteq X_2，则定义在 X1X_1 上的函数 y=f2(f1(x))y = f_2(f_1(x)) 称为 f1f_1 和 f2f_2 的复合函数，记作 f2∘f1:X1→Rf_2 \circ f_1 : X_1 \to \mathbb R，称 f1f_1 为该复合函数的内函数， f2f_2 为外函数.

4. 反函数

单射：f:X→Y,∀x1,x2∈X,x1≠x2,f: X \to Y, \forall x_1, x_2 \in X, x_1 \ne x_2,
满射：f:X→Y,Y=f(X)f: X \to Y, Y = f(X)
双射：单射满射的函数
设 f:X→Yf:X \to Y 是一个双射，定义 g:Y→Xg: Y \to X，对 ∀y∈Y\forall y \in Y, g(y) 由 y=f(x)y = f(x) 所唯一确定的 x∈Xx \in X.这样定义的 g(y)g(y) 成为 f(x)f(x) 的反函数，记作 g=f−1g = f^{-1}

函数的性质

有界性

y=f(x)y = f(x) 为定义在 XX 上的函数，
若 ∃M∀x∈X\exists M \forall x \in X，都有 f(x)≤Mf(x) \le M ，称 f(x)f(x) 在 XX 上有上界， MM 为 f(x)f(x) 的上界；
若 ∃m∀x∈X\exists m \forall x \in X，都有 f(x)≥mf(x) \ge m ，称 f(x)f(x) 在 XX 上有上界， mm 为 f(x)f(x) 的下界；
若 f(x)f(x) 既有上界又有下界，则称 f(x)f(x) 在 XX 上有界. 若 ∀x∈X\forall x \in X 有 ∣f(x)∣≤M\vert f(x) \vert \le M， 则称 MM 为 f(x)f(x) 的一个界。
若 f(x)f(x) 不是 XX 上的有界函数，则称 f(x)f(x) 无界.

单调性

y=f(x)y = f(x) 为定义在 XX 上的一个函数.
若 ∀x1,x2∈X\forall x_1, x_2 \in X，x1<x2  ⟺  f(x1)≤f(x2)(f(x1)≥f(x2))x_1 < x_2 \iff f(x_1) \le f(x_2)(f(x_1) \ge f(x_2))，则称 f(x)f(x) 是在 XX 上单调上升（下降）或单调递增（递减）函数.
将 ≤\le 或 ≥\ge 换成 << 或 >>，则称 f(x)f(x) 在 XX 上严格单调上升（下降）函数. 单调上升函数和单调下降函数统称为单调函数.

周期性

y=f(x)y = f(x) 为定义在 XX 上的一个函数.
若 ∃T>0∀xinX\exists T > 0 \forall x in X，有 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)，则称 f(x)f(x) 为周期函数，TT 称为 f(x)f(x) 的一个周期.
若存在一个最小的周期 T0T_0，则称 T0T_0 为 f(x)f(x) 的最小正周期.

奇偶性

y=f(x)y = f(x) 为定义在 XX 上的一个函数，XX 关于原点对称. (x∈X  ⟺  −x∈X)(x \in X \iff -x \in X)
f(x)=−f(−x),∀x∈Xf(x) = -f(-x), \forall x \in X 称 f(x)f(x) 是 XX 上的奇函数；
f(x)=f(−x),∀x∈Xf(x) = f(-x), \forall x \in X 称 f(x)f(x) 是 XX 上的偶函数；

初等函数

由基本初等函数有限次的加、减、乘、除和复合运算所得到的所有函数统称初等函数.

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