因式分解基本方法（一）

一. 因式分解

1. 定义：

把一个多项式化为几个整式的乘积的形式

$(x+1)(x+3)=x^2+4x+3 \Longrightarrow 整式乘法$

$x^2+4x+3=(x+1)(x+3) \Longrightarrow 因式分解$

2. 本质：

整式乘法逆运算

3. 分解要求：

①. 结果为乘积形式

例：$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ ✔

$=x(x+4)+3$✘

②. 每个因式均为整式

例：$x^2+4x+3=x(x+4+\frac{3}{x})$✘

③. 必须分解完全

例：$x^4-1$

$=(x^2+1)(x^2-1)$✘

$=(x^2+1)(x+1)(x-1)$✔

④. 如有相同写成幂的形式

⑤. 最后结果不含有中括号、大括号

⑥. 首项系数化正

⑦. 在有理数范围内分解

⑧. 单项式写在多项式前

二. 提公因式法

1. 公因式：

①数字部分取最大公因数 ②相同字母取低次幂

例：$2a^2b^3(x+y)^2$和$4ab^4(x+y)^2$ 公因式：$2ab^3(x+y)$

2. 提取公因式：

例：①$y^3=y(y^2-1)=y(y+1)(y-1)$ 检验是否分解完全

②$2x(a-b)+3y(b-a)=(2x-3y)(a-b)$ 注意相反数

注意：提公因式优先级最高，有公因式先提公因式

三. 公式法

1. 乘法公式

①平方差：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

②完全平方：$a^2 \pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$

③立方和/差：$a^3 \pm b^3=(a \pm b)(a^2 \mp b^2)$

④完全立方：$a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3=(a \pm b)^3$

⑤三元完全平方：$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$

⑥大立方：$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$ 当$a+b+c=0$或$a=b=c$,则$a^3+b^3+c^3=3abc$

2. 公式法：

根据多项式的次数和项数确定公式

四. 十字相乘

1. 适用于二次三项型因式分解

2. 原理：

整式乘法：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

因式分解：$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b$

例：$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$

$x^2-x-6=(x+2)(x-3)$

3. 步骤：

①降幂排列

②拆分收尾

③求和凑中