奇奇怪怪有意思的数学问题

cos x=2 (x\in\mathbb{C})

在复数域上，余弦函数可通过欧拉公式表示为：

cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

代入方程 cosx=2，得：

\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=2

两边乘以2：

e^{ix}+e^{-ix}=4

令

y=e^{ix}

，则

e^{−ix}

\frac{1}{y}

方程变为：

y+\frac{1}{y}=4

将方程两边乘以

y

：

y^{2}+1=4y\Rightarrow y^{2}−4y+1=0

用求根公式

y ={-b \pm \sqrt{b^2-4ac}\over 2a}

解此二次方程：

y={4\pm\sqrt{16-4}\over2} =\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2} =2\pm\sqrt{3}

y_1=2+\sqrt{3} ,y_2=2-\sqrt{3}

由

y=e^{ix}

，对每个 y 取自然对数：

ix=\ln y+2k\pi i(k\in\mathbb{Z})

其中

2k\pi i

是复数对数的周期性修正项（因指数函数周期为

2k\pi i

）。解得：

x=−i\ln y+2k\pi

\phi(y=2+\sqrt{3})

\psi(x=−i\ln(2+\sqrt{3})+2k\pi)

\phi(y=2-\sqrt{3})

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