题解：UVA11437 Triangle Fun

现在开始上数学课

1. 建立坐标系

2. 确定 $D$、$E$、$F$ 的坐标

• $D$ 是 $BC$ 的三等分点，$BC = 3BD$，即 $BD : DC = 1 : 2$，则
  $D = B + \frac{1}{3}(C - B) = \left( b + \frac{c_1 - b}{3}, 0 + \frac{c_2}{3} \right) = \left( \frac{2b + c_1}{3}, \frac{c_2}{3} \right)$
• 同理
  $E = A + \frac{2}{3}(C - A) = \left( \frac{2c_1}{3}, \frac{2c_2}{3} \right)$
  $F = A + \frac{1}{3}(B - A) = \left( \frac{b}{3}, 0 \right)$

3. 求直线 $AD$、$BE$、$CF$ 的方程

• 直线 $AD$：
  • 斜率： $k_{AD} = \frac{\frac{c_2}{3} - 0}{\frac{2b + c_1}{3} - 0} = \frac{c_2}{2b + c_1}$
  • 方程： $y_{AD} = \frac{c_2}{2b + c_1} x$
• 同理
  $y_{BE} = \frac{2c_2}{2c_1 - 3b}(x - b)$
  $y_{CF} = \frac{3c_2}{3c_1 - b}(x - c_1) + c_2$

4. 求交点 $P$、$Q$、$R$

• 交点 $P$（$AD \cap BE$）：
  • 联立 $AD$ 和 $BE$ 的方程：
    $\frac{c_2}{2b + c_1} x = \frac{2c_2}{2c_1 - 3b}(x - b)$
    消去 $c_2$（$c_2 \neq 0$）：
    $\frac{x}{2b + c_1} = \frac{2(x - b)}{2c_1 - 3b}$ 交叉相乘：
    $x(2c_1 - 3b) = 2(x - b)(2b + c_1)$
    展开并整理：
    $2c_1 x - 3b x = 2(2b x + c_1 x - 2b^2 - b c_1)$
    $2c_1 x - 3b x = 4b x + 2c_1 x - 4b^2 - 2b c_1$
    移项：
    $-3b x - 4b x = -4b^2 - 2b c_1$
    $-7b x = -2b(2b + c_1)$ 解得：
    $x = \frac{2(2b + c_1)}{7}, \quad y = \frac{c_2}{2b + c_1} \cdot \frac{2(2b + c_1)}{7} = \frac{2c_2}{7}$
    因此：
    $P\left( \frac{2(2b + c_1)}{7}, \frac{2c_2}{7} \right)$
• 同理可得
  $Q\left( \frac{4c_1 + b}{7}, \frac{4c_2}{7} \right)$
  $R\left( \frac{2b + c_1}{7}, \frac{c_2}{7} \right)$

5. 计算三角形 $PQR$ 的面积

• 已知：
  $P\left( \frac{4b + 2c_1}{7}, \frac{2c_2}{7} \right), \quad Q\left( \frac{4c_1 + b}{7}, \frac{4c_2}{7} \right), \quad R\left( \frac{2b + c_1}{7}, \frac{c_2}{7} \right)$
  利用行列式公式计算面积：
  $S_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \left| x_P(y_Q - y_R) + x_Q(y_R - y_P) + x_R(y_P - y_Q) \right|$
  计算各项：
  $y_Q - y_R = \frac{4c_2}{7} - \frac{c_2}{7} = \frac{3c_2}{7}$
  $y_R - y_P = \frac{c_2}{7} - \frac{2c_2}{7} = -\frac{c_2}{7}$
  $y_P - y_Q = \frac{2c_2}{7} - \frac{4c_2}{7} = -\frac{2c_2}{7}$
  代入：
  $S_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \left| \frac{4b + 2c_1}{7} \cdot \frac{3c_2}{7} + \frac{4c_1 + b}{7} \cdot \left(-\frac{c_2}{7}\right) + \frac{2b + c_1}{7} \cdot \left(-\frac{2c_2}{7}\right) \right| = \frac{c_2}{98} \left| 7b + 0 \right| = \frac{c_2}{98} \cdot 7b = \frac{b c_2}{14}$

6. 计算三角形 $ABC$ 的面积

7. 求面积比

由此可得 $S_{\triangle PQR} = \frac{1}{7} S_{\triangle ABC}$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double cal(double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3) // 使用行列式计算三角形面积
{
    return 0.5 * abs((x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1));
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        double a, b, c, d, e, f;
        cin >> a >> b >> c >> d >> e >> f;
        double s = cal(a, b, c, d, e, f) / 7;
        printf("%.0lf\n", s); // 记得保留整数
    }
    return 0;
}