理想气体的一些推导

这是一篇个人测试帖。内容看看就好。

0 理想气体假设

即满足气体质量一定情况下

pV \propto T

，满足

pV = nRT

。

7 条假设：

我们要推导分子的平均动能的表达式。

考虑长度为

L

的立方体，对于任意封闭容器，根据其封闭性其推导过程也同样适用。

考虑单个分子与单面器壁碰撞。其速度为

\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)

，并撞击与

x

轴垂直的容器壁，此时动量变化

\Delta p_x = -2mv_x

，作用力的冲量即为

2mv_x

。

考虑碰撞发生时间。分子往返一次所需时间为

t = \dfrac{2L}{v_x}

, 由冲量定义

I = F \cdot t

，单个分子对单个方向平均作用力为

F_x = 2mv_x \cdot \frac{v_x}{2L} = \frac{mv_x^2}{L}

接下来考虑一般的情况。注意到

|\vec v| = \bar{v}

，即

\overline{v^2} = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2

，同时注意到立方体有两个对立面，所以单个分子对全部器壁的平均作用力为

F_{tol} = 2(F_x + F_y + F_z) = 2(\frac{mv_x^2}{L} + \frac{mv_y^2}{L} + \frac{mv_z^2}{L}) = \frac{2m\overline{v^2}}{L}

接下来计算器壁压强，由

p = \dfrac{F}{A}

：

p = \frac{NF_{tol}}{6L^2} = \frac{2Nm\overline{v^2}}{6L^3}

最后使用

V = L^3

化简关系式。

\boxed{ pV = \frac{Nm\overline{v^2}}{3} }

我们将

\dfrac 12 m \overline{v^2}

单独提出。

\frac 12 m \overline{v^2} = \frac{2pV}{N}

由

pV = nRT

，单个分子平均动能即为

\boxed{ \text{KE}_{avg} = \dfrac{3RT}{2N_A} }

平板写 markdown 的痛苦又有谁知道呢。