要是写纯纯的答案就比较无聊也比较无力。所以接下来的内容一点也不规范。
Task 1
证明：
345+456 是
2 个大于
22002 的整数的乘积。
观察：
这个题的形式是幂和幂的相加，我们肯定要因式分解，也许你会想到两条路：
- 分解奇数次幂的和：a5+b5=(a+b)(a4−a3b+a2b2−ab3+b4)。
- 分解偶数次幂的和：a4+4b4=(a2+2b2+2ab)(a2+2b2−2ab)。
然后很不幸的是，前者列出来就可以否决了，因为显然
a+b 是到不了题目要求的级别的，而且从命题角度来看，如果是这样就不会如此设问。后者是好的，因为两项是同阶的，所以后者应该可以做出来。
证：
我们知道：
a4+4b4=(a2+2b2+2ab)(a2+2b2−2ab)。
带入
a=3256，
b=2256−1，则：
N=(3512+256+3256⋅2256+1)(3512+256−3256⋅2256+1)
只要证
3512+256±3256⋅2256+1>102002 即可：
3512+256−3256⋅2256+1≥256−1≥10456−1>102002
Task 2
证明：对任意正整数
n，
42(17+122)n−(17−122)n 是整数并且不是完全平方数。
观察：
根据经验，这个形式显然是一个
an=xan−1+yan−2 的递推式的通项公式，所以我们考虑先构造出来，证明是一个整数。
证明：(Part. 1)
认为
α=17+122,β=17−122，则两者是
x2=34x−1 的根。
于是令
an=34an−1−an−2，
a0=0，
a6=6，我们显然可以证明等价性。因为有归纳法，所以证到整数。
观察：
先回想证明不是完全平方的方法。
- vp(x)≡1(mod2)
- n2<x<(n+1)2
- 二次剩余
但是这个事情是后想的，我们先来观察一些性质。
考虑看看
α 和
β 的特殊性，手玩得到
α=(1+2)4,β=(1−2)4。哦哦，其实我们也可以写成：
an=42(1+2)4n−(1−2)4n
令
b4n=an，可以写出递推式：
bn=2bn−1+bn−2，
b0=0,b1=21。虽然可能不是整数，但是事实上偶数位置都是整数。不过可以看到
2bn 确实都是整数，而且是一奇一偶交替的。
然后我们接着研究
2bn。写几项看看成分：
{0,1,2,5,12,29,…}
观察一：发现任意相邻两项都互质，数归即可证明。
没什么感觉，但是
42(1+2)4n−(1−2)4n 这个式子在
n→∞ 的时候，分子上
(1−2)4n→0 是很显然的，大小可以忽略不计。考虑我们已经有了
4n，那么这个时候就很有可能往
方法二 n2<x<(n+1)2 上靠，所以考虑：
b4n=b2n⋅42(1+2)2n+(1−2)2n
到这观察应该完毕了，考虑利用几个性质证明一下。
证明：（Part. 2）
Task 5
an=1,an+1=2an+3an2−2，证明
{a} 是整数序列。
简单题哦。
简单题吗？
证明：