首先我们要找到合法数列的上界，其次考虑如何做使得字典序最小。考虑若干形如 $(i,S-i)$ 的数对，显然这里面最多只能选择一个，如果两个都选那么就能凑出 $S$ 了，所以答案的上界为 $\left\lfloor S-1\over2\right\rfloor$。现在我们考虑简化问题，我们其实可以通过确定一个合法的集合 $B$ 满足 $\forall x\in A,x\le\left\lfloor S-1\over2\right\rfloor$，据此确定 $A$。考虑对于之前的数对 $(x,y),x<y$，若 $x\notin B$，那么有 $y\in A$，否则有 $x\in B\subseteq A$。现在我们尝试去寻找字典序最小的 $B$，显然若 $B$ 满足字典序最小则有 $A$ 同样满足字典序最小。

在开始前我们先来证明一个引理。

证明考虑反证法。如果 $a+b\notin B$，那那么有 $S-a-b\in A$，于是 $A$ 中的元素就能够凑出 $S$ 了。矛盾。

首先我们要明确一点，就是我们从小到大去考虑 $i\le\left\lfloor S-1\over2\right\rfloor$，如果 $i$ 能被选择那么我一定会去选它。这里会有一个问题，就是说为啥这样构造出来的 $B$ 对应的 $A$ 一定合法呢？考虑反证法，首先 $B$ 一定合法，若 $A$ 不合法，那么一定存在一个 $x>\left\lfloor S-1\over2\right\rfloor$ 能与若干 $y\in B$ 凑出 $S$。因为对于形如 $(i,S-i)$ 的数对只能选择一个数，所以 $S-x\notin B$。但是因为有若干 $y\in B$ 能够凑出 $S-x$，根据引理有 $S-x\in B$，所以矛盾。这样就说明了做法的正确性。

接下来我们考虑会加入什么数以及加入的数有什么性质。假设现在 $x$ 能加入 $B$，那么对于 $\forall y=kx,y\le\left\lfloor S-1\over2\right\rfloor$ 一定也能加入 $B$。如果原来集合里有 $x$，我们加入 $y$，那么对于 $\forall v=k1x+k2y,v\le\left\lfloor S-1\over2\right\rfloor$ 一定也能加入 $B$。这显然可以考虑同余最短路。

考虑最短路之前我们需要找到最小的 $x\in B$，考虑找到最小的 $x\not\mid S$。因为 $\text{lcm}(1,2,\dots,x-1)\mid S$，所以能算出 $x\le43$，设为 $p$。然后就正常同余最短路做即可。

具体的，我们设 $f_i$ 表示 $B$ 中元素能组合出最小的 $x\bmod p=i$ 的数，加入一个 $x$ 就有 $f_{i}\leftarrow f_{(i-kx)\bmod S}+kx$，你写成转两圈的形式会好写一些。一个元素加入后合法当且仅当 $f_{S\bmod p}>S$，结合 dp 转移式有 $\forall i,x>\left\lfloor S-f_{(S-ix)\bmod p}\over i\right\rfloor$。到此这个题差不多就做完了，求答案考虑二分，若要求 $B$ 中 $\le k$ 的元素个数，则有 $\sum\limits_{i=0}^{p-1}\left\lfloor k-f_i\over p\right\rfloor+[i>0]$。时间复杂度 $\mathcal O(p^3+p\log n)$。