「YLLOI-R1-T3」一路向北 的题解

因为数字 $x$ 只能到第 $x$ 个队列，所以若出现循环，则只会是 $1$ 个队列在循环。

下面我们给出一个结论：

证明：因为当一个 $x$ 出现在 $0$ 后时，在 $0$ 出队前，这个 $x$ 就不可能出队。然而想要 $0$ 出队，至少需要有 $m$ 个 $x$ 入该队。证毕。

因此只要有任意一个 $x$ 的总数量小于 $m$，就一定可以不再拿回 $0$。如果想要使所有 $x$ 的总数量都大于等于 $m$，任意一个 $x$ 的总数量都一定为 $m$。

下面我们再给出一个结论：

证明：要想使第 $x$ 个队列循环，首先需要把该队列用 $x$ 填满，不然一定会到其他队列；并且手中还需要拿着 $x$，不然无法再进入该队列。因此至少需要 $m+1$ 个 $x$ 才可能使第 $x$ 个队列循环。证毕。

当不会有任何队列可能循环时，$0$ 就一定会被拿回手中。

因此，我们把所有情况分为了两种，一种为每个数字的总数量都为 $m$，该情况 $0$ 一定会被拿回，除此之外 $0$ 一定可以不再被拿回。