一种神秘的估计概率的方法

高考前一天想出来的。

就是发现如果单纯用频率估计概率的话，若一个事件只进行过 $1$ 次并且没有发生，就认为它概率的估计值为 $0$，就感觉很神秘。因为显然当事件本身的概率不为 $0$ 时，也可能得到同样的结果。要更准确地估计一个事件的概率，应该是取它的概率的期望。

继续以那个只进行过一次且没有发生的事件为例，假如这个事件发生的概率为 $p$，在这个条件下进行一次没有发生的概率应为 $1-p$，而 $p$ 的取值范围是 $[0,1]$，那么这个事件的概率分布就可以画成一条直线 $y=1-p$，其中 $y$ 仅表示在假设的概率 $p$ 下，这种情况出现的概率的分布。（即纵轴不代表在实际意义下它出现的概率，实际上对于每个特定的 $p_0=p$ 的概率都是 $0$，但是能反映它取不同概率值发生情况的比例）。

而它概率的期望就需要从这个神秘的 $y=1-p$ 里面去算。就需要求一个类似加权平均的东西，其中值是 $p$ 轴，权值是 $y$ 轴。

于是就是求 $\int_0^x(1-p)(p-x)\,{\rm d}p=\int_x^1(1-p)(x-p)\,{\rm d}p$

或者换一种理解方式，就是求 $\int_0^1(1-p)(p-x)\,{\rm d}p=0$

这个函数积出来显然是 $f(p)=-\dfrac13p^3+\dfrac{x+1}2p^2-xp+C$，即

于是求出来了它真正的，概率的期望是 $\dfrac13$。

然后考虑更复杂的情况，一个事件进行了 $n$ 次，发生了 $m$ 次，求它概率的期望。

对于概率为 $p$ 的情况，这次的分布是 $y=C_n^m\times p^m(1-p)^{n-m}$

这东西打开是 $y=C_n^m\times\sum\limits_{i=0}^{n-m}(-1)^i\times C_{n-m}^i\times p^{m+i}$

此时 $C_n^m\times\sum\limits_{i=0}^{n-m}(-1)^i\times C_{n-m}^i\times p^{m+i+1}-C_n^m\times x\sum\limits_{i=0}^{n-m}(-1)^i\times C_{n-m}^i\times p^{m+i}$

此时 $f(p)=C_n^m\times(\sum\limits_{i=0}^{n-m}(-1)^i\times\dfrac{C_{n-m}^i}{m+i+2}\times p^{m+i+2}-x\sum\limits_{i=0}^{n-m}(-1)^i\times\dfrac{C_{n-m}^i}{m+i+1}\times p^{m+i+1}))$

$x$ 就是它概率的期望了。