函数前置知识

区间

• 开区间，可以用 $(a,b)$ 表示。更加容易理解地，如果 $x \in (a,b)$，则 $a<x<b$。
• 闭区间，可以用 $[a,b]$ 表示，更加容易理解地，如果 $x \in [a,b]$，则 $a \le x \le b$。
• 半开半闭区间，可以用 $[a,b)$ 或者 $(a,b]$ 表示。其实就是上面两种区间的结合体。

函数定义域

函数的值域

垂线检验

反函数

函数的复合

奇偶函数

奇函数

偶函数

三角函数

弧度制

一些特别的三角函数

恒等式

$$\sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm\cos(A)\sin(B)\\ \cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp\sin(A)\sin(B)$$ $$\cos(A)\sin(B)=\frac{\sin(A+B)-\sin(A-B)}{2}\\ \cos(A)\cos(B)=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}\\ \sin(A)\sin(B)=-\frac{\cos(A+B)-\cos(A-B)}{2}\\ \sin(A)\cos(B)=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}$$ $$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)\\\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)\\\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)\\\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$$

极限

双侧极限

$$\lim_{x \to 5}f(x)=10$$ $$\text{当 } x \to 5 \text{ 时，有 } f(x) \to 10$$

左右极限

$$\lim_{x \to 5^+} f(x)\\ \lim_{x \to 5^-} f(x)$$

比较特殊的情况

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty\\ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}=-\infty$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$$ $$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \text{ 不存在}$$ $$\lim_{x \to 5} f(x)=10$$

水平渐近线

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x}=0$$

夹逼定理

定理内容

$$\lim_{x \to a} g(x)=\lim_{x \to a} h(x)=L$$ $$\lim_{x \to a} f(x)=L$$

简单证明

$$\forall \varepsilon>0,\,\exists \delta>0,\,\text{使得当 } 0 <|x-a|<\delta \text{ 时，有 } |f(x)-L|<\varepsilon$$

由 $\lim_{x \to a} g(x)=L$，则显然地，对于任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1 >0$，使得当 $0<|x-a|<\delta_1$ 时，$|g(x)-L|<\varepsilon$，即 $L-\varepsilon<g(x)<L+\varepsilon$。

对于 $h(x)$ 的处理同理。

考虑取 $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$，则结合两个得出的条件（对 $g(x),h(x)$ 的处理得出的条件），可以得到：$L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon$。证毕。

$$\lim_{x \to 0^+}x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$$ $$\lim_{x \to 0^+}x \sin\left(\frac{1}{x}\right)=0$$ $$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin(x)}{x} \le \frac{1}{x}$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x}=0$$

补充一：极限的更好的定义

补充二：函数的连续性

• $f(c)$ 存在。
• $\lim_{x \to c} f(x)$ 存在。
• $\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$。

如果要取某个函数的某一点的极限，如果有定义，则可以直接取这一点的值作为极限的值。

多项式极限

例题一

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-5x+6}{x-2}$$

例题二

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-5x+6}{x-3}$$ $$\frac{x^2-5x+6}{x-3}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}=x-2$$ $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-5x+6}{x-3}=\lim_{x \to 3} \left(x-2\right)=1$$

例题三

$$\lim_{x \to 2} \frac{2x^6+x^5-12x^4-4x^3+16x^2+4x-8}{x^3+x^2-4x-4}$$ $$\lim_{x \to 2} \frac{2x^6+x^5-11x^4-6x^3+16x^2+4x-8}{x^3+x^2-4x-4}=\frac{(x+1)(x-2)(2x^4+3x^3-4x^2-4x+4)}{(x+1)(x+2)(x-2)}=\lim_{x \to 2} \frac{2x^4+3x^3-4x^2-4x+4}{x+2}= 9$$

例题四

$$\lim_{x \to 10} \frac{\sqrt{x^2-36}-8}{x-10}$$ $$\lim_{x \to 10} \frac{\sqrt{x^2-36}-8}{x-10}=\lim_{x \to 10} \left(\frac{\sqrt{x^2-36}-8}{x-10} \times \frac{\sqrt{x^2-36}+8}{\sqrt{x^2-36}+8}\right)=\lim_{x \to 10} \frac{x+10}{\sqrt{x^2-36}+8}=\frac{5}{4}$$

例题五

$$\lim_{x \to \infty} \frac{C}{x^n}=0$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+5x+7}{x^4}=0$$ $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3}+\frac{7}{x^4}\right)=0$$

例题六

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^3-2x+1}{-2x^3+5x^2-4}$$ $$\frac{3x^3-2x+1}{-2x^3+5x^2-4}=\frac{3-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{-2+\frac{5}{x}-\frac{4}{x^3}}$$

例题七

$$\lim_{x \to 5} \frac{|x-5|}{x-5}$$ $$\lim_{x \to 5^-} \frac{|x-5|}{x-5}=\lim_{x \to 5^-} \frac{5-x}{x-5}=-1$$

介值定理

定理内容

简单证明

最大值最小值定理

定理内容

简单证明

结合物理的运动学中的极限理解导数

例子一

$$\overline{v}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

例子二

$$v=\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x)-f(x-\varepsilon)}{\varepsilon}$$ $$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

导函数

例题一

$$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)(h)}{h}=\lim_{h \to 0} (2x+h)=2x$$

例题二

$$a^n-b^n=(a-b)\left(\sum_{i=0}^{n-1} a^ib^{n-1-i}\right)$$ $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{h\left(\sum_{i=0}^{n-1}(x+h)^ix^{n-1-i}\right)}{h}=\lim_{h \to 0} \left(\sum_{i=0}^{n-1}(x+h)^ix^{n-1-i}\right)$$ $$\lim_{h \to 0} \left(\sum_{i=0}^{n-1}(x+h)^ix^{n-1-i}\right)=\lim_{h \to 0} \left(\sum_{i=0}^{n-1}x^ix^{n-1-i}\right)=\lim_{h \to 0} \left(\sum_{i=0}^{n-1}x^{n-1}\right)=nx^{n-1}$$

例题三

有一个结论：$\ln(x)$ 在任意位置都连续。

设 $f(x)=x^n$。

注意到 $x^n=e^{n \ln x}$

那么

$$f(x+h)=e^{n \ln (x+h)}=e^{n(\ln x+\ln(1+\frac{h}{x}))}=x^ne^{n\ln(1+\frac{h}{x})}$$

所以：

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x^n(e^{n \ln (1+\frac{h}{x})})-1}{h}$$

令 $t=\frac{h}{x}$，则 $h=xt$，当 $h \to 0,t \to 0$，化为：

$$\frac{x^n(e^{n \ln (1+t)}-1)}{xt}=x^{n-1}\frac{e^{n \ln (1+t)}-1}{t}$$

注意到：$\ln(1+t) \approx t-\frac{t^2}{2}+\cdots$，则：

$$e^{n \ln (1+t)} \approx e^{nt} \approx 1+nt+O(t^2)$$

所以：

$$\frac{e^{n \ln (1+t)}-1}{t} \approx \frac{1+nt-1}{t}=n$$

所以：

$$\lim_{t \to 0}\frac{e^{n \ln (1+t)}-1}{t}=n$$

所以

$$\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{n}-x^n}{h}=nx^{n-1}$$

证毕。

上面是一种如果真的不想用隐函数的做法。

另一种做法：直接取 $\ln$。

$$\ln y=\ln(x^n)=n\ln x$$

两边求导，隐函数求导。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln y)=\frac{1}{y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(n \ln x)=\frac{n}{x}$$

注意这里 $n$ 是常数。

所以，这个时候，将 $y$ 挪过去：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{yn}{x}=nx^{n-1}$$

证毕。

导数表示方式

• $f'(x)$。
• $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。读作 dydx，一个一个念出来。不要觉得奇怪。。。
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x))$。

高阶导数

$$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}(f(x))$$ $$\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}=\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(f(x))=f^{(n)}(x)$$

左右导数

$$f'_-(x)=\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ $$f'_+(x)=\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

可导性和连续性

第一部分

$$f(x)=|x|$$ $$\lim_{x \to 0^-}|x|=\lim_{x \to 0^+}|x|=0=f(0)$$ $$f'_-(0)=\lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h|-|0|}{h}=-1\\ f'_+(0)=\lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h|-|0|}{h}=1$$

连续函数不一定可导。

第二部分

设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，由导数的定义，有：

$$\lim_{h \to 0}\left(f(a+h)-f(a)\right)=\lim_{h \to 0} \left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h \right)$$

注意到 $\lim_{h \to 0} h =0$，则：

$$\lim_{h \to 0} \left(f(a+h)-f(a)\right)=f'(a) \cdot 0=0$$

则

$$\lim_{h \to 0} f(a+h)=f(a)$$

各种求导的法则

加法法则

$$f'(x)=g'(x)+h'(x)$$ $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}x}$$

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)+h(x+\Delta x)-g(x)-h(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}=g'(x)+h'(x)$$

乘法法则

$$f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$$ $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} x}$$

商法则

$$h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$ $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{v\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x}-u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} x}}{v^2}$$

链式法则

$$h'(x)=f'(g(x))g'(x)$$ $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$$

简单应用

$$f(x)=\sqrt{x^2+\sin(3x)} \cdot \cos(x)$$ $$f'(x)=\frac{(2x+3\cos(3x))\cos(x)-2(x^2+\sin(3x))\sin(x)}{2\sqrt{x^2+\sin(3x)}}$$

极值

鞍点

非极值点

单调性

• 对于区间 $I$，若 $\forall x \in I \space f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增。
• 若 $\forall x \in I \space f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减。

凹凸性

凹函数

凸函数

非凹非凸

例题

1. 求 $f(x)$ 在 $[0,\frac{\pi}{4}]$ 上的最大值。
2. 给定 $\theta \in (0,\pi)$，设 $a$ 为实数，证明：存在 $y \in [a-\theta,a+\theta]$，使得 $\cos y \le \cos \theta$。
3. 若存在 $\varphi$ 使得对任意 $x$，均有 $5\cos x-\cos(5x+\varphi) \le b$，求 $b$ 的最小值。

第一问

直接求导。$f'(x)=5(\sin 5x-\sin x)=10 \cos 3x\sin 2x$。如果不会，请看前面的三角函数章节。

驻点为 $x=0$ 和 $x=\frac{\pi}{6}$。经过验证，$f(x)$ 在 $[0,\frac{\pi}{6})$ 单调增，$(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}]$ 上单调减。

所以 $f(x)$ 在 $[0,\frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $f(\frac{\pi}{6})=3\sqrt 3$。且恰好为全局最大值。

第二问

情况一

存在 $(2k+1)\pi \in [a-\theta,a+\theta]$，$k \in \mathbb{Z}$。

$\cos (2k+1)\pi=-1 \le \cos \theta$ 显然成立。

情况二

剩余情况。

不妨设 $a \in (-\pi,\pi)$，其余情况可以简单地通过周期性进行扩展。

很难不发现 $\cos x=\cos(-x)$ 且 $y= \cos x$ 在 $(-\pi,0)$ 上单增，$(0,\pi)$ 上单减，所以在 $x \in (-\pi,\pi)$ 时，只需看 $|x|$ 的大小。$|x|$ 大则 $\cos x$ 小，$|x|$ 小则 $\cos x$ 大。

注意到 $|a+\theta|$ 和 $|a-\theta|$ 必有一个不比 $\theta$ 小 。所以存在 $y \in [a-\theta,a+\theta]$ 使得 $\cos y \le \cos \theta$。

第三问

用脚趾都能想到要用前两问的结论。

当 $\varphi=0$ 时，$b \ge 3 \sqrt 3$。

取 $\theta=\frac{5\pi}{6}$。设 $a=\varphi$，为了不重，设 $\varphi \neq 0$。由（2）有：$\exist y' \in [\varphi -\frac{5\pi}{6},\varphi+\frac{5\pi}{6}] \space \cos y' \le \cos \frac{5\pi}{6}$。

呃呃别看到 $'$ 就觉得是导数，这里就单纯想这样写而已 qwq。

设 $x'=\frac{y'-\varphi}{5}$，有 $|x'| \le \frac{\pi}{6}$。所以此时的 $x'$ 代入到原来的式子有 $5\cos x'-\cos(5x'+\varphi)=5\cos x'-\cos y' \ge 3\sqrt 3$。所以 $b_{\min}=3\sqrt 3$。

三角函数求导

基本的三角函数的导数

1. $(\sin(x))'=\cos x$。
2. $(\cos(x))'=-\sin(x)$。
3. $(\tan(x))'=\sec^2(x)$。
4. $(\cot(x))'=-\csc^2(x)$。
5. $(\sec(x))'=\sec(x)\tan(x)$。
6. $(\csc(x))=-\csc(x)\cot(x)$。

反三角函数

1. $(\arcsin(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
2. $(\arccos(x))'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
3. $(\arctan(x))'=\frac{1}{1+x^2}$。

双曲三角函数

1. $(\sinh(x))'=\cosh(x)$。我们这里可以考虑用 $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 来求导。之后会讲到指数函数和对数函数的导数。
2. $(\cosh(x))=\sinh(x)$。同上，将减号变成加号。

例题

例题一

$$f(x)=\sin(3x^2+2x)$$

例题二

$$f(x)=x^2\cos x$$

例题三

$$f(x)=\frac{\tan x}{1+\sin x}$$

例题四

$$f(x)=\arcsin(e^x)$$

例题五

$$f(x)=\sin^2(x)$$

例题六

$$f(x)=\cosh(\ln(x))$$

例题七

$$f(x)=\arctan(\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)})$$

解答

例题一

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\cos(3x^2+2x)\cdot(6x+2)$$

例题二

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2x\cos (x)-x^2\sin(x)$$

例题三

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\sec^2(x)(1+\sin(x))-\tan(x)\cos(x)}{(1+\sin(x))^2}=\frac{\sec^2(x)(1+\sin(x))-\sin(x)}{(1+\sin(x))^2}$$

例题四

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}} \cdot e^x=\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$$

例题五

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)$$ $$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=2\cos(2x)$$

例题六

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\sinh(\ln(x))\cdot \frac{1}{x}=\frac{e^{\ln (x)}-e^{-\ln (x)}}{2x}=\frac{x-\frac{1}{x}}{2x}=\frac{x^2-1}{2x^2}$$

例题七

$$\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$$ $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{2}$$

提醒

隐函数求导

隐函数

隐函数求导的方法

左边，有 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(y^2)=2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

右边，有 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(1)=0$。

容易得到 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}$。

一般方法

隐函数求导的几何意义

$$y - y_0 = \left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{(x_0, y_0)} (x - x_0).$$ $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y} \implies \nabla F \cdot \left(1, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) = 0.$$ $$\left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = -\frac{1/\sqrt{3}}{1} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

扩展

$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=-\frac{\partial F/\partial x_i}{\partial F/\partial y}$$

有关指数函数和对数函数导数的一些内容

简单复习一些公式

对数的法则：

1. $\log_b(1)=0$。
2. $\log_b(b)=1$。
3. $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$。
4. $\log_b(\frac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)$。
5. $\log_b(x^y)=y\log_b(x)$。
6. 最重要的一个。指数函数导数一定会用到。$\log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}$。

指数函数和对数函数

• 指数函数：形如 $y=a^x$ 的函数，其中 $a$ 为非零实数。
• 对数函数：形如 $y=\log_a(x)$ 的函数，$a>0,a \neq 1$ 时，称其为对数函数。
• 不难发现对数函数和指数函数是一对互反函数。

求导

指数函数求导

$$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ $$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}$$ $$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{a^x(a^h-1)}{h}$$ $$f'(x)=a^x\lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}$$ $$\lim_{h \to 0} \frac{e^{h \ln a}-1}{h}$$ $$\lim_{h \to 0} \frac{e^{h \ln a}-1}{h}=\lim_{k \to 0} \frac{e^k-1}{\frac{k}{\ln a}}=\ln a \cdot \lim_{k \to 0} \frac{e^k-1}{k}$$ $$\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}=1$$ $$f'(x)=a^x \ln x$$

回归本质

假设有一笔钱以 $100\%$ 的年利率进行复利计算，每年复利 $n$ 次，则一年后的总额是多少？

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ $$e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ $$e^x=\sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i$$ $$e^x=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ $$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{x}{n}\right)^k=\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{x^k}{n^k}$$ $$\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{x^k}{n^k}=\sum_{k=0}^{n} \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-k+1}{n} \cdot \frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^{n} \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$$ $$e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$ $$f'(x)=f(x)$$

对数函数求导

最最基础的

$$\lim_{u \to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1$$

$$e=\lim_{u \to 0} (1+u)^{\frac{1}{u}}$$

所以：

$$\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u}=\ln(e)=1$$

证毕。

$$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}$$ $$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{h}$$ $$f'(x)=\lim_{u \to 0} \frac{\ln (1+u)}{ux}=\frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u}=\frac{1}{x}$$

或许有点复杂的东西

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_a(x)$$ $$\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$ $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_a(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\ln(x)}{\ln(a)}\right)=\frac{1}{x \ln (a)}$$

洛必达法则

罗尔中值定理

由最大最小值（上文有提），设 $M$ 为闭区间 $[a,b]$ 的最大值，$m$ 为最小值。

情况一：$M=m$，即常数函数。

此时，对于任意的 $c \in (a,b)$，均有 $f'(c)=0$。

情况二：$M>m$

此时 $M$ 和 $m$ 都是极值点，显然 $f'(M)=f'(m)=0$。证毕。

拉格朗日中值定理

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

设

$$\phi(x)=f(x)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right)$$

$\phi(a)=\phi(b)=0$，这是很显然的，代入罗尔中值，存在 $c \in (a,b)$ 使 $\phi'(c)=0$。

$$\phi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

代入 $\phi'(c)=0$ 有：

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

柯西中值定理

$$\frac{𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)}{𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)}=\frac{𝑓'(𝑐)}{𝑔'(𝑐)}$$

构造 $h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$。

满足罗尔中值的要求。则存在 $x_0 \in (a,b)$ 使得 $h'(x_0)=0$。

则

$$f'(x_0)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x_0)=0\\ \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=0$$

• $\frac{0}{0}$ 型：若 $f(x),g(x)$ 在 $a$ 的某去心邻域内可导，且满足 $\lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x \to a} g(x)=0$，则有最下面的条件。
• $\frac{\infty}{\infty}$ 型：若 $f(x),g(x)$ 在 $a$ 的某去心邻域内可导，且满足 $\lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x \to a} g(x)=\infty$，则有最下面的条件。

$$\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}=1$$ $$\lim_{h \to 0} e^h=1$$

taylor 展开 & Maclaurin 公式

taylor 展开

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$$

Maclaurin 公式

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$

$y=e^x$

$$e^x=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$$

$y=\sin x$

$$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$y=\cos x$

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

$y=\ln(1+x)$

$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n},|x|<1$$

$y=\frac{1}{1-x}$

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n,|x|<1$$

总结

致谢

• Adrian Banner 的《普林斯顿微积分读本》，此文章合集的目录参考了这本书，我也是看这本书自学的。内容由我独立完成。
• 这位作者关于隐函数定理的证明，十分精彩！
• 一位同校的极强的物理同学为我提供了柯西中值定理的证明，在此致谢！
• 一位数学老师为我提供了指导，并修改了文章中比较严重的问题。在此致谢！
• 感谢评论区的几位大佬指出问题。