初赛数学

组合数学

一副扑克牌（除去大王和小王）共有 52 张牌，点数分别是 A、2、3、...、10、J、Q、K 共 13 种，其中每种点数的牌都有黑桃、红桃、梅花、方片四种花色各一张。现在从 52 张牌中抽出三张，它们之间花色、点数均不相同的方案数是（）。

A. 624
B. 1144
C. 41184
D. 6864

答案

答案：D

思路：组合数学

从 4 种花色中选出 3 种，有

C^3_4

种方法；
再为这 3 种选出 3 个不同的点数，有

C^3_{13}

种方法。
选出的 3 个点数对应 3 个花色，有

3×2×1=6

种对应方法。

总共有

C^3_4 \times C^3_{13} \times 6 = 6864

种选牌的方法。

从 0 到 9 中挑选 4 个不同的数字形成⼀个集合，且没有数字相差为 1 的选法有（）种。

A. 15
B. 18
C. 35
D.70

答案

答案：C

思路：组合数学（插空法）

我们需要从0到9这10个数字中选择4个数字。
这4个数字之间不能有任何两个数字是相邻的。

为了保证所选的4个数字之间没有相邻的数字，我们可以先将这4个数字看作是4个“球”，然后在它们之间插入至少一个“隔板”以保证它们不相邻。

假设我们已经选择了4个数字，并且它们之间至少有一个空位，那么剩下的6个位置（包括两端）可以用来放置这些数字和可能的额外间隔。

因此，问题转化为从7个位置中选择4个位置的问题（因为每个被选的位置后面必须有一个空位，但最后一个被选的位置后面可以没有空位），即计算组合数

C(7,4)

。

计算组合数：

C(7,4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35

若三个正整数 $a,b,c$ 的位数之和为 8，且组成 $a,b,c$ 的 8 个数码能排列为 2,0,2,4,0,9,0,8，则称 $(a,b,c)$ 为“幸运数组”，例如 $(9,8,202400)$ 是一个幸运数组。满足 $10<a<b<c$ 的幸运数组 $(a,b,c)$ 的个数为（）。

A. 520 B. 300 C.480 D. 591

答案

答案：D

思路：组合数学 + 分类讨论

对于幸运数组

(a,b,c)

，当

10<a<b<c

时，分两类情形讨论。

情形1：

a

是两位数，

b,c

是三位数。暂不考虑

b,c

的大小关系，先在

a,b,c

的非最高位（五个位置）中选三个位置填8，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为

C(5,3) \times C(5,2) \times 3! = 600

种。再考虑其中

b,c

的大小关系，由于不可能有

b=c

，因此

b<c

与

b>c

的填法各占一半，故有

600/2=300

个满足要求的幸运数组。

情形2：

a,b

是两位数，

c

是四位数。暂不考虑

a,b

的大小关系，类似于情形1，先在

a,b,c

的非最高位（五个位置）中选三个位置填8，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600。再考虑其中

a,b

的大小关系。若a=b，则必有

a=b=20

，

c

的四个数字是0,4,8,9的排列，且8不在首位，有

3 \times 3! =18

种填法，除这些填法外，

a<b

与

a>b

的填法各占一半，故有

(680-18)/2=291

个满足要求的幸运数组。

综上，所求幸运数组的个数为

300+291=591

种。

在8个排成一排的人中随机挑选3个，使得3个人至少有两人相邻的概率是：（）

A. $\frac{9}{14}$

B. $\frac{3}{14}$

C. $\frac{5}{14}$

D. $\frac{11}{14}$

答案

答案：A

思路：组合数学

在8个排成一排的人中随机挑选3个，使得3个人至少有两人相邻的概率是：

总的选择方法数：

\binom{8}{3} = 56

种

不相邻的选择方法数：将3个人看作3个空位插入5个间隔（即有6个位置可放空位）中，有

\binom{6}{3} = 20

种

因此，至少两人相邻的概率为：

1 - \frac{20}{56} = \frac{36}{56} = \frac{9}{14}

正确答案是 A.

\frac{9}{14}

。

从男女数量相同的8个人中随机选取三个人做大作业。则选出的3个人不都是同性的概率为（）

A. 1/7

B. 6/7

C. 25/28

D. 2/7

答案

答案： B.

\frac{6}{7}

思路：组合数学

总组合数：

\binom{8}{3} = 56

。

全男或全女：

\binom{4}{3} + \binom{4}{3} = 8

。

同性概率：

\frac{8}{56} = \frac{1}{7}

。

不都是同性的概率：

1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}

。

设有一个10个顶点的完全图，每两个顶点之间都有一条边，有多少个长度为4的环？（）

A.120

B.210

C.630

D.5040

答案

答案：C

一个长为4的环，由4个顶点构成。

从10个顶点中选出4个顶点，4个顶点可以构成3种环

1-2-3-4-1
1-3-2-4-1
1-3-4-2-1

总方案数为

C ( 10 , 4 ) \times 3 = 630

容斥原理

将6本不同的书分给3⼈，每⼈⾄少1本，有（）种分法。

A. 540
B. 360
C. 90
D. 120

答案

答案：A

思路：容斥原理

随意分配的方案数为

3^{6} = 729

减至少一个人没分配到数的方案数为:

3 \times 2^6 = 192

加两人空:

3 \times 1^6 = 3

所以总计:

729-192+3 = 540

。

其他

假设一个四位数 n = abcd，a,b,c,d 均为 1~9 之间的整数，若以 a,b,c,d 作为四边形的四条边（a 与 c、b 与 d 是对边），可以得到一个等腰梯形（两底面长度不同），那么这样的 n 有（）个。

A. 1096
B. 1156
C. 548
D. 578

答案

答案：A

思路：分类讨论

有 4 种情况：

①

a,c

是腰，

b<d

；
②

a,c

是腰，

b>d

；
③

b,d

是腰，

a<c

；
④

b,d

是腰，

a>c

；

枚举两腰与上下底的边长，要求两腰长度>下底长度-上底长度。枚举边长的所有情况，最后乘以 4 得到答案。

小明和小杨轮流掷硬币（每次掷硬币正面朝上概率是 2/3，反面朝上的概率是 1/3)，小明先掷，如果谁先掷到正面算谁赢，请问小明赢的概率是（）。

A. 2/3
B. 1/2
C. 3/4
D. 3/5

答案

答案：C

设小明A赢的概率为

x

，小杨B赢的概率应该为

x/3

，也就是小明第一次投到反面以后才轮到小杨。

P(A)+P(B)=1

，即

x+x/3=1

，所以

x=3/4

。

也可以用等比数列计算

2/3+2/27+2/243+...=3/4

。

求长度为7的全排列个数，满足不能分成4个连续子序列使每个子序列都严格递增。()

A. 3849

B. 1191

C. 1312

D. 2416

答案

答案：C

思路：欧拉数

我们需要求长度为7的全排列中，不能被划分为4个连续严格递增子序列的排列个数。

等价地，这些排列的最长递增子序列（LIS）的长度不超过3（因为如果LIS≥4，则至少需要4段递增子序列覆盖，但这里要求不能分成4段连续递增子序列）。

实际上，更直接的条件是：排列的下降点数（descents）小于3（因为k个下降点可以将排列分成k+1段递增连续子序列）。
因此，不能被分成4段连续递增子序列的排列，即最多只能分成3段（下降点数≤2）。

记

A(n, k)

为欧拉数，表示有

k

个下降点的

n

阶排列的个数。
则满足条件的排列数为：

A(7,0) + A(7,1) + A(7,2)

已知欧拉数：

$A(7,0) = 1$
$A(7,1) = 120$
$A(7,2) = 1191$

因此：

A(7,0) + A(7,1) + A(7,2) = 1 + 120 + 1191 = 1312

总排列数为

7! = 5040

，所以满足条件的排列数为1312。

最终答案：

\boxed{1312}

从线段上随机挑选两个点，其距离不小于线段长度一半的概率为（）。

A. 1/3

B. 2/3

C. 1/4

D. 1/2

答案

答案：C. 1/4

在单位正方形

[0,1] \times [0,1]

内，

|x-y| \geq 1/2

的区域是两个直角边为

1/2

的直角三角形，每个面积

1/8

，总面积

1/4

，故概率为

1/4

。

几何图示（帮助理解）：

正方形

[0,1] \times [0,1]

。

直线

Y = X + 1/2

：从点

(0, 1/2)

到点

(1/2, 1)

。

直线

X = Y + 1/2

：从点

(1/2, 0)

到点

(1, 1/2)

。

目标区域是两个小三角形：

一个三角形顶点为 $(0, 1/2)$ , $(0, 1)$ , $(1/2, 1)$ （对应 $Y \geq X + 1/2$ ）。
另一个三角形顶点为 $(1/2, 0)$ , $(1, 0)$ , $(1, 1/2)$ （对应 $X \geq Y + 1/2$ ）。

每个三角形是直角边为

1/2

的等腰直角三角形，面积各为

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

。

所以两个三角形面积为

\frac{1}{4}

。

⼀场盛⼤的晚宴，有 5 名本校选⼿和 5 名外校选⼿共同进膳。为了增进交流，他们决定相隔就坐，即每个本校选手左右旁都是外校选手，每个外校选⼿左右旁都是本校选手。那么，这⼀桌⼀共有（）种不同的就坐方案。注：如果在两个方案中，每个选⼿左右相邻的选手相同，则视为同⼀种方案。

A. 120

B. 2680

C. 2880

D. 3360

答案

答案：C

解析：圆桌排列，固定一人位置避免旋转重复。

本校选手圆排列： $(5-1)! = 24$ 种
外校选手填充间隔： $5! = 120$ 种
总计 $24 \times 120 = 2880$ 种

甲乙两人进行比赛，每局比赛获胜的概率相同，均为甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，现规定两人持续比赛，直到有一方比对方获胜局数多两局时获得一场比赛的胜利，则甲获胜的概率是（）

A. 2/5

B. 4/9

C. 4/13

D. 1/3

答案

答案：C

甲获胜的概率为

\frac{p^2}{p^2 + q^2}

（其中

p = 0.4

，

q = 0.6

）是一个经典结论，适用于“领先2局获胜”的规则。以下是简洁解释：

问题背景

每局甲赢的概率为 $p$ ，乙赢的概率为 $q$ （且 $p + q = 1$ ）。
比赛持续，直到一方比另一方多赢两局（即领先2局）时获胜。

关键观察：对称性与吸收状态

比赛可视为随机游走（从0开始，甲赢+1，乙赢-1），目标为到达+2（甲赢）或-2（乙赢）。
规则对称（领先2局获胜），但概率不对称（ $p \neq q$ ）。

推导思路（简洁版）

设 $x$ 为从0开始甲最终获胜的概率。
考虑前两局结果：
- 甲连赢两局（概率 $p^2$ ）：直接获胜。
- 乙连赢两局（概率 $q^2$ ）：甲失败。
- 一胜一负（概率 $2pq$ ）：回到初始状态（0领先）。
建立方程：

$x = p^2 \cdot 1 + q^2 \cdot 0 + 2pq \cdot x$

即：

$x = p^2 + 2pq x$
解方程：

$x - 2pq x = p^2$

$x(1 - 2pq) = p^2$

$x = \frac{p^2}{1 - 2pq}$
利用恒等式 $1 - 2pq = p^2 + q^2$ （因为 $p^2 + 2pq + q^2 = 1$ ）：

$x = \frac{p^2}{p^2 + q^2}$

直观理解

公式表示：甲获胜概率正比于其“直接连赢两局”的概率。
分母 $p^2 + q^2$ 是“比赛在两局内结束”的概率（甲或乙连赢），分子 $p^2$ 是甲直接连赢的概率。

代入数值

$p = 0.4$ ， $q = 0.6$ ：

$\frac{0.4^2}{0.4^2 + 0.6^2} = \frac{0.16}{0.16 + 0.36} = \frac{0.16}{0.52} = \frac{4}{13}$

一般化规则

若规则为“领先 $n$ 局获胜”，则甲获胜概率为 $\frac{p^n}{p^n + q^n}$ （通过类似递推可得）。

因此，甲获胜的概率为

\boxed{\dfrac{4}{13}}

。

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