论如何n等分一条线段

众所周知，想要二等分一条线段是比较容易的，只需要做一条中垂线即可，那么三等分、四等分甚至

n

等分，要怎么办呢？我们先从三等分看起。

观察

如图，有一条线段

AB

：

让我们在它的上面随意点上两个点

M

和

N

, 就长这样：

那么我们接下来就进行如下操作：

将点 $M$ 移至 $AN$ 中点；
将点 $N$ 移至 $MB$ 中点；重复执行以上操作，我们会发现，点 $M$ 和点 $N$ 竟然在一直靠近线段 $AB$ 的三等分点，下图就是执行 $5$ 次以后的状况：

猜想

那么我们于是就生发出猜想：

是不是只要执行的次数够多

就可以得到更为准确的三等分点

证明

条件

我们不妨假设上面所分的三条线段

AM

、

MN

、

NB

的长度分别是

x

、

y

、

z

。
我们这时，将一次点的移动看做一次操作，那么在第一次执行完之后的线段长度（刚刚更新的）就是

\frac{x + y}{2}

，再执行一次操作后，则为

\frac{\frac{1}{2}{(x + y)} + z}{2}

。
在我们手动枚举五次后得到的结果如下(

a_0

表示第一次，以此类推)：

a_0 = \frac{x+y}{2}

a_1 = \frac{\frac{1}{2}{(x + y)} + z}{2}

a_2 = \frac{\frac{3}{2}{(x + y)} + z}{2^2}

a_3 = \frac{\frac{5}{2}{(x + y)} + 3z}{2^3}

a_4 = \frac{\frac{11}{2}{(x + y)} + 5z}{2^4}

接着，我们发现：

在 $a$ 的式子中，变了的只有 $(x + y)$ 前的系数、 $z$ 的系数和分母。

那么我们接下来开始严格的证明。

代数证明

设

a_n = \frac{\frac{b_n}{2}(x + y) + c_n z}{2^n}

，

b_1 = 1, b_2 = 3, c_1 = 1, c_2 = 1

则

a_{n - 1} = \frac{\frac{b_{n - 1}}{2}(x + y) + c_{n - 1} z}{2^n} = \frac{b_{n - 1}(x + y) + 2 c_{n - 1} z}{2^n}

,
由此可得：

a_{n + 1} = \frac{a_n + a_{n - 1}}{2}

= \frac{\frac{\frac{b_n}{2}(x + y) + c_n z}{2^n} + \frac{b_{n - 1}(x + y) + 2 c_{n - 1} z}{2^n}}{2}

=\frac{\frac{b_n + 2 b_{n-1}}{2}(x + y) + (c_n + 2 c_{n - 1})z}{2^{n + 1}}

这时，我们发现

$b_n = b_{n - 1} + b_{n - 2}$ $c_n = c_{n - 1} + c_{n - 2}$

又因为

c_2 = b_1, c_3 = b_2

，所以，

c_n = b_{n - 1}

。
所以原式化为：

a_n = \frac{\frac{b_n}{2}(x + y) + b_{n - 1} z}{2^n}

化到这时，我们先求一下

b_n

的通项式：

$b_n = b_{n- 1} + b_{n - 2}$
使用特征根
$x^2 = x + 2$
解得 $x = -1 或 x = 2$
则 $b_n$ 通项为 $\alpha 2^n + \beta (-1)^n$
带入 $b_1$ 和 $b_2$ 得，

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猜想

证明

条件

代数证明

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