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基础定义

自由度：dfdf，初始为 nn，每使用一个从样本中得到的参数用来估计或假设，就会使得原有的样本中可自由变动的参数降低一（如用 xˉ\bar x 估计 μ\mu，则减去 11）
离均差：x−μx-\mu 或 x−xˉx-\bar x
方差：S2=∑(xi−xˉ)2=∑x2−(∑x)2nS^2=\sum(x_i-\bar x)^2=\sum x^2-\frac{(\sum x)^2}n
标准差：s.d.s.d.
标准误：s.e.s.e.，表示多次不同抽样的标准差，在每一次抽样中可用 Sxˉ=SnS_{\bar x}=\frac S{\sqrt n} 或 σxˉ=σn\sigma_{\bar x}=\frac \sigma{\sqrt n} 估算，反应了抽样误差
均值方差：SE2SE^2，为标准误的平方
变异系数：C.V.=SxˉC.V.=\frac S{\bar x}
协方差：cov.=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)n(or n−1)cov.=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{n(or\ n-1)}，反应两变量相关性的方差
相关系数：ρ=cov.σxσy,r=cov.SxSy\rho=\frac{cov.}{\sigma_x\sigma_y},r=\frac{cov.}{S_xS_y}
样本总体
均值xˉ\bar xμ\mu
标准差ssσ\sigma
百分比ppπ\pi

统计模型

F检验（联合假设检验）：用于验证方差齐性
F=S12(Larger)S22(Smaller),df1=n1−1,df2=n2−1F=\frac{S_1^2(Larger)}{S_2^2(Smaller)}, df_1=n_1-1, df_2=n_2-1
t检验：通常需要满足三个前提——独立性（不同受试者的测量结果互不影响）、正态性、方差齐性；若正态性不满足，则考虑非参数检验；若方差齐性不满足，则考虑Welch t检验；若独立性不满足，则考虑配对t检验
  • 常规t检验：用于方差齐性时 Sxˉ1−xˉ2=SC2(co s.d.)×(1n1+1n2)=(n1−1)S12+(n2−1)S22(n1−1)+(n2−1)×(1n1+1n2)S_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{S_C^2(co\ s.d.)\times(\frac1{n_1}+\frac1{n_2})}=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{(n_1-1)+(n_2-1)}\times(\frac1{n_1}+\frac1{n_2})} t=xˉ1−xˉ2Sxˉ1−xˉ2t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{S_{\bar x_1-\bar x_2}} df=n1+n2−2df=n_1+n_2-2
  • Welch t检验：用于方差不齐时 Sxˉ1−xˉ2=S12n1+S22n2S_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}} t=xˉ1−xˉ2Sxˉ1−xˉ2t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{S_{\bar x_1-\bar x_2}} df=(S12n1+S22n2)(S12n1)2n1−1+(S22n2)2n2−1=1(rSE12)2df1+(rSE22)2df2,rSE12=Sxˉ12Sxˉ12+Sxˉ22df=\frac{(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2})}{\frac{(\frac{S_1^2}{n_1})^2}{n_1-1}+\frac{(\frac{S_2^2}{n_2})^2}{n_2-1}}=\frac1{\frac{(rSE_1^2)^2}{df_1}+\frac{(rSE_2^2)^2}{df_2}},rSE_1^2=\frac{S_{\bar x_1}^2}{S_{\bar x_1}^2+S_{\bar x_2}^2}
  • 配对t检验：前两者的特殊形式 Sdˉ=SdnS_{\bar d}=\frac{S_d}{\sqrt n} t=dˉSdˉt=\frac{\bar d}{S_{\bar d}} df=n−1df=n-1
  • 置信区间计算： xˉ±s.e.⋅tα,df\bar x\pm s.e.\cdot t_{\alpha,df}
z检验：与t检验原理基本相同，只是使用 μ,σ\mu,\sigma 等代替 xˉ,S\bar x,S，适用于总体的检验或大样本（n≥30n\ge30）的抽样检验
u检验：一种非参数检验，不要求满足正态分布，适用于数据严重偏离正态分布时，不比较均值，而是比较分布是否相同
方差分析（ANOVA）：需满足独立性、正态性、方差齐性，用于比较若干因素下各样本的均值是否显著（以及变异的主要来源），若显著则需进一步进行多重比较；若有不止一个因素，则需考虑两因素或多因素方差分析
SST(total SS)=SSTSST(total\ SS)=SS_T dfT=nk−1df_T=nk-1 SSB(between SS)=∑ni(Xˉi−Xˉ)2SSB(between\ SS)=\sum n_i(\bar X_i-\bar X)^2 dfB=k−1df_B=k-1 SSW(within SS,SSE,error SS)=∑SSiSSW(within\ SS,SSE,error\ SS)=\sum SS_i dfW=n−kdf_W=n-k (SST=SSB+SSW,dfT=dfB+dfW)(SST=SSB+SSW,df_T=df_B+df_W) MS(mean squares)=SSdfMS(mean\ squares)=\frac{SS}{df} F=MSBMSWF=\frac{MSB}{MSW}
多重比较：比较多组数据间两两是否存在显著差异
  • 最小显著差数法（LSD）：计算不同组平均数之间的差数，与LSD值进行比较
Sxˉi−xˉj=MSEn1+MSEn2S_{\bar x_i-\bar x_j}=\sqrt{\frac{MSE}{n_1}+\frac{MSE}{n_2}} LSD0.05,dfE=n−k=t0.05,dfE=n−kSxˉi−xˉjLSD_{0.05,df_E=n-k}=t_{0.05,df_E=n-k}S_{\bar x_i-\bar x_j}
  • 最小显著极差法（LSR）
χ2\chi^2 检验：检验统计量是否符合某种分布；要求各理论值均需大于5，否则需要合并直到大于5为止；且不能用于百分比，需要先转化为频数，再计算
  • 拟合度检验：
χ2=∑(O−E)2E,df=n−1\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}E,df=n-1
  • 独立性检验：
χ2=∑(O−E)2E,df=(r−1)(c−1)\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}E,df=(r-1)(c-1)
回归模型：
  • 回归计算：
b^=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2\hat b=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2} a^=yˉ−b^xˉ\hat a=\bar y-\hat b\bar x
  • 拟合优度计算（F检验）： dfregression=1(only par. xˉi)df_{regression}=1(only\ par.\ \bar x_i) dferror=n−2df_{error}=n-2 MS=SSdfMS=\frac{SS}{df} F=MSregressionMSerrorF=\frac{MS_{regression}}{MS_{error}} F=r2⋅n−21−r2(which means F≡t2)F=r^2\cdot\frac{n-2}{1-r^2}(which\ means\ F\equiv t^2)
  • 拟合优度计算（t检验）： r=cov.SxSy=SPSSx⋅SSy=∑(x−xˉ)(y−yˉ)∑(x−xˉ)2⋅∑(y−yˉ)2r=\frac{cov.}{S_xS_y}=\frac{SP}{\sqrt{SS_x\cdot SS_y}}=\frac{\sum(x-\bar x)(y-\bar y)}{\sqrt{\sum(x-\bar x)^2\cdot\sum(y-\bar y)^2}} t=rn−21−r2t=r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}
  • 回归方程差异度分析： Se2(residual variance)=∑(yi−y^i)2n−2S_e^2(residual\ variance)=\frac{\sum(y_i-\hat y_i)^2}{n-2} Sa2=Se2n+Se2xˉ2SSxS_a^2=\frac{S_e^2}{n}+\frac{S_e^2\bar x^2}{SS_x} Sb2=Se2SSxS_b^2=\frac{S_e^2}{SS_x} ta=a1−a2Sa12+Sa22t_a=\frac{a_1-a_2}{\sqrt{S_{a1}^2+S_{a2}^2}} tb=b1−b2Sb12+Sb22t_b=\frac{b_1-b_2}{\sqrt{S_{b1}^2+S_{b2}^2}}
df=n−2(with 2 par. a and b)df=n-2(with\ 2\ par.\ a\ and\ b)
  • Verhulst方程的拟合：
对相邻数据进行相除，使用 λ=1+B(K−Nt)\lambda=1+B(K-N_t) 进行拟合
  • Logistic方程的拟合：
N=K1+ea−rt,a=ln⁡K−N0N0N=\frac{K}{1+e^{a-rt}},a=\ln\frac{K-N_0}{N_0} ln⁡K−NN=ln⁡K−N0N0−rt\ln\frac{K-N}N=\ln\frac{K-N_0}{N_0}-rt K≈N22(N1+N3)−2N1N2N3N22−N1N3(N chosen with curve covered)K\approx\frac{N_2^2(N_1+N_3)-2N_1N_2N_3}{N_2^2-N_1N_3}(N\ chosen\ with\ curve\ covered)
N=K1+ea−r(t−γ)(with reprod. delay)N=\frac{K}{1+e^{a-r(t-\gamma)}}(with\ reprod.\ delay)
Nt=K1+ea−r(t+τ)(with react. delay)N_t=\frac{K}{1+e^{a-r(t+\tau)}}(with\ react.\ delay)

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