数列与几何

2025年10月5日下午,本蒟蒻漫不经心地写着语文试卷(话说这语文怎么这么烦!),一边写作业一边在草稿本上随意地画着网格图案......等等???这是什么?难道是......?

最小单位矩形 定义:一个矩形,它的边除了端点无其他点,内部无直线,即一个“不可再分”的矩形.

在同一平面内
作一条直线 $l_1$ ,此时没有最小单位矩形
作直线 $l_2 \perp l_1$ ,此时依然没有最小单位矩形
作直线 $l_3 \perp l_2$ ,且保证 $l_3$ 位于 $l_1$ 下方,此时依然没有最小单位矩形
作直线 $l_4 \perp l_3$ ,且保证 $l_4$ 位于 $l_2$ 下方,此时出现了 $1$ 个最小单位矩形
作直线 $l_5 \perp l_4$ ,且保证 $l_5$ 位于 $l_3$ 下方，此时出现了 $2$ 个最小单位矩形
......

以此类推,我们由添加直线的数量和最小单位矩形数量可以得到一个数列 $0,0,0,1,2,4,6,9,12,16,20,25,30,......$

记作数列 $a$
不难发现,数列前三项都是 $0$
从第 $4$ 项开始所有的偶数项都是完全平方数,
从第 $5$ 项开始所有的奇数项都能表示成两个相邻的正整数的乘积,
例如,
$\begin{aligned} a_5&=1 \times 2 \\ a_7&=2 \times 3 \\ a_9&=3 \times 4 \\ \end{aligned}$
......

除此之外，这个数列还满足一个有趣的性质,
$\begin{aligned} a_4&=a_3+1 \\ a_5&=a_4+1 \\ a_6&=a_5+2 \\ a_7&=a_6+2 \\ a_8&=a_7+3 \\ a_9&=a_8+3 \\ a_{10}&=a_9+4 \\ \end{aligned}$
......

最后给出数列的通项公式
$a_n=\begin{cases} \frac{(n-1)(n-3)}{4} & n为正奇数 \\ \frac{(n-2)^2}{4} & n为正偶数 \\ \end{cases}$