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复数

ffengxiangyang
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2025/12/03 02:51
3 个月前
此快照最后确认于
2025/12/03 02:51
3 个月前
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复数的定义

早在初中，我们就学了x\sqrt{x}
但是，老师告诉我们−1\sqrt{-1}木有意义
到了高中，老师说−1=i\sqrt{-1}=i
这说明初中老师脑子有问题
回到−1=i，i\sqrt{-1}=i，i表示什么？
我们知道，×−1\times-1表示绕(0,0)(0,0)旋转180°180\degree
那么ii就表示绕(0,0)(0,0)旋转90°90\degree(下面给出严格的证明)
复数就是虚数bibi和实数aa组成的a+bia+bi

复数运算

加法

(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i 可以发现复数加法和向量加法平行四边形法则一模一样， 读者自证不难

减法

懂得都懂

乘法

(a+bi)×(c+di)=(ab−cd)+(ad+bc)i(a+bi)\times(c+di)=(ab-cd)+(ad+bc)i

除法

除法没有明确的式子

e,π,θ,r——欧拉公式和θ−r表示法e,\pi,\theta,r——欧拉公式和\theta-r表示法

欧拉公式

推导

eix=1+12(ix)+16(ix)2⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1+12ix−16x2⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(1−12x2+124x4⋅⋅⋅⋅⋅⋅)+i(x−16x3+1120x4⋅⋅⋅⋅⋅⋅)=cos⁡x+isin⁡x其中eiτ=1(τ=2π),eiπ=−1,eiπ2=ie^{ix}=1+\frac{1}{2}(ix)+\frac{1}{6}(ix)^2\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot \\=1+\frac{1}{2}ix-\frac{1}{6}x^2\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot \\=(1-\frac1 2x^2+\frac1 {24}x^4\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot)+i(x-\frac1{6}x^3+\frac1 {120}x^4\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot) \\=\cos x+i\sin x \\其中e^{i\tau}=1(\tau=2\pi),e^{i\pi}=-1,e^{i\frac\pi2}=i

解决问题

=22+22i\\=\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2i

θ−r表示法\theta-r表示法

其中r=a2+b2,θ=tan⁡−1ab\\其中r=\sqrt{a^2+b^2},\theta=\tan^{-1}\frac a b

今天先聊到这里,Byebye!Byebye!

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