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分班考 - 数学最后一题
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2025/08/24 18:15
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@mio5rzmw
此快照首次捕获于
2025/12/02 13:49
3 个月前
此快照最后确认于
2025/12/02 13:49
3 个月前
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题目
一个数列
a
{
n
}
=
{
1
,
3
,
4
,
7
,
11
,
…
}
a\{n\}=\{1,3,4,7,11,\dots\}
a
{
n
}
=
{
1
,
3
,
4
,
7
,
11
,
…
}
，令
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
S_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
，求证：
a
n
+
2
−
S
n
a_{n+2}-S_n
a
n
+
2
−
S
n
为定值。
解题思路
∵
a
n
+
2
−
S
n
\because a_{n+2}-S_n
∵
a
n
+
2
−
S
n
=
a
n
+
1
+
a
n
−
(
S
n
−
1
+
a
n
)
=a_{n+1}+a_n-(S_{n-1}+a_n)
=
a
n
+
1
+
a
n
−
(
S
n
−
1
+
a
n
)
=
a
n
+
1
+
a
n
−
S
n
−
1
−
a
n
=a_{n+1}+a_n-S_{n-1}-a_n
=
a
n
+
1
+
a
n
−
S
n
−
1
−
a
n
=
a
n
+
1
−
S
n
−
1
=a_{n+1}-S_{n-1}
=
a
n
+
1
−
S
n
−
1
…
\dots
…
=
a
2
−
S
0
=a_2-S_0
=
a
2
−
S
0
=
3
=3
=
3
∴
a
n
+
2
−
S
n
≡
3
\therefore a_{n+2}-S_n\equiv3
∴
a
n
+
2
−
S
n
≡
3
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