圆锥曲线与直线的交点

考虑如下问题：给定圆锥曲线 $C$ 以及过定点 $P(x_0,y_0)$ 的直线 $l:(y-y_0)=k(x-x_0)$，其中 $x_0,y_0,k$ 均已知，设 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$，求 $(x_0-x_1)(x_0-x_2)$。

以椭圆为例，联立方程组：

可得：

且此方程两根分别为 $x_1,x_2$。

于是，由二次项系数可知 $\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}\right)(x-x_1)(x-x_2)=f(x)$。

将 $f(x)$ 换回双参，结合以上式子，可得 $(x_0-x_1)(x_0-x_2)=\dfrac{\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}-1}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}}$。

此等式有额外的组合意义：它是圆上众所周知的结论 $|PA||PB|=x_0^2+y_0^2-r^2$ 对坐标系进行缩放后的结果，分母上的 $1+k^2$ 表示将长度的乘积转化为横坐标之差的乘积。

我们令标准方程的 LHS 为 $L(x,y)$，RHS 为 $R(x,y)$ 可得椭圆的答案为 $\dfrac{(L-R)(x_0,y_0)}{L(1,k)}$。

同理，对于双曲线：

抛物线：

可以发现，答案均为 $\dfrac{(L-R)(x_0,y_0)}{L(1,k)}$ 的形式。

考虑 $f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cx^2+Dx+Ey+F=0$。用和上面相同的方式，答案的分母应当为二次项系数，即 $\dfrac{f(x_0,y_0)}{f_{[2]}(1,k)}=\dfrac{Ax^2+Bxy+Cx^2+Dx+Ey+F}{A+Bk+Ck^2}$。

所以标准方程的答案具有统一性是因为把二次项系数放在左边，其他系数放在右边。

另外提供一个 FUN FACT：对于不退化的一般式，令 $\Delta=B^2-4AC$，$\Delta<0$ 图象是椭圆，$\Delta=0$ 是抛物线，$\Delta>0$ 是双曲线。

同时本题中构建的函数 $(x-x_1)(x-x_2)$ 在部分题目中使用相比韦达定理可大幅减少计算量。

例题：（南京市 2026 届高三年级 9 月学情调研）已知双曲线 $C:x^2-y^2=2$ 的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点。是否存在 $x$ 轴上的定点 $M$，使得 $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ 为定值？若存在，求出 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

已知坐标 $F_2(2,0),M(t,0)$，直线为 $my+2=x$。

同上联立可得 $(m^2-1)(y-y_1)(y-y_2)=(my+2)^2-y^2-2$。

上式为定值，所以 $t^2-2=t^2-4t+2\Rightarrow t=1$。

此部分没什么用。

考虑一般式方程的矩阵形式：

容易验证这和一般式等价。

则考虑令中间的方阵为 $M$，圆锥曲线不退化当且仅当 $\det(M)\neq0$。证明略。