二项式定理的一个推广

声明

注：作者 good1210对中学数学没有系统性的学习，所以部分显而易见的东西会花费一点笔墨说明。并且部分描述可能也没说清楚。见谅。

组合数

1234567891011121314151617181920212223242526#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;

int n, m;
int dp[1005][1005];
// dp[n][k] 表示在 n 个元素中选取互不相同的 k 个元素的方案数

inline void solve(int n, int m) {
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            // 杨辉三角的性质、组合数递推公式，以后会说
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1];
        }
    }
    return;
}

signed main() {
    cin >> n >> m;
    solve(n, m);
    cout << dp[n][m];
    return 0;
}

二项式定理

描述

$\textbf{Theorem 1.}$ 对于二项式 $x+y$，其 $n$ 次幂 $(x+y)^n$ 的展开形式可被描述为：

$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$

即

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$

其中 $n\in\mathbb{N^*}$。

证明

数学归纳法

数学归纳法是一种证明方式。

具体步骤：

1. 证明命题在 $n=n_0$（其中 $n,n_0\in\mathbb{N^*}$）
2. 假设命题当 $n=m$ 时成立
3. 证明命题在 $n=m+1$ 时成立
4. 命题在 $n\ge n_0$ 时成立

关于数学归纳法更多内容可以看 浅谈数学归纳法 这篇文章，很充实。

• 两个式子中，关于 $x$ 和 $y$ 的指数互相一致；
• 大 $\sum$ 式子的上指标、下指标互相一致。
• 其中 $x$ 的指数为 $m+1-k$，$y$ 的指数为 $k$。

• $m-(k-1)=m-k+1=m+1-k$
• $(k-1)+1=k$

• $x^{m+1}$ 即式 $(10)$ 中的大 $\sum$ 式中 $k=0$ 的情形；
• $y^{m+1}$ 即式 $(10)$ 中的大 $\sum$ 式中 $k=m+1$ 的情形；

我的推广

由来

一天，一个 xxs（good1210）在研究方程通解，试图观察多项式的特征以及展开式然后因式分解得到结果。

描述

$\textbf{Theorem 2.}$ 对于 $n$ 个二项式 $(x+a_1),(x+a_2),\cdots,(x+a_n)$，其乘积的展开形式可被描述为：

$\sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n}\prod_{j=1}^{k}a_{i_j}\right)x^{n-k}$

即

$\prod_{i=1}^{n}\left(x+a_i\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n}\prod_{j=1}^{k}a_{i_j}\right)x^{n-k}$

其中 $n\in\mathbb{N^*}$。

证明

1. 统一上式 $\bm x$ 的系数；
2. 统一大 $\bm{\sum}$ 式子的上指标、下指标。
3. 合并两个大 $\bm{\sum}$ 式子。

• 式 $\displaystyle\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le m}\prod_{j=1}^{k}a_{i_j}$（记为 $\text{Part I}$）即从 $m$ 个元素中挑选 $k$ 个互不相同的元素，并将每一种挑选结果的 $k$ 个元素相乘，并求和。
• 式 $\displaystyle\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_{k-1}\le m}a_{m+1}\times\prod_{j=1}^{k-1}a_{i_j}$（记为 $\text{Part II}$）即从 $m$ 个元素中挑选 $k-1$ 个互不相同的元素，并将每一种挑选结果的 $k-1$ 个元素相乘的结果再与 $a_{m+1}$ 相乘，并求和。

• $\text{Part I}$：从 $a_1,a_2,\cdots, a_m,a_{m+1}$ 中选取 $k$ 个互不相同的元素（但是一定不选取 $\bm{a_{m+1}}$）
• $\text{Part II}$：从 $a_1,a_2,\cdots, a_m,a_{m+1}$ 中选取 $k$ 个互不相同的元素（但是一定选取 $\bm{a_{m+1}}$）

• $x^{m+1}$ 等价于 $\displaystyle\left(\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_{k}\le m+1}\prod_{j=1}^{k}a_{i_j}\right)x^{m+1-k}$ 中 $k=0$ 的情况；
• $a_1a_2\cdots a_{m+1}$ 等价于 $\displaystyle\left(\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_{k}\le m+1}\prod_{j=1}^{k}a_{i_j}\right)x^{m+1-k}$ 中 $k=m+1$ 的情况。

手稿

证明的手稿

图片比较大，加载可能比较慢。

是我写的 qwq

特殊形式

结语