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一元二次方程

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定义

一元二次方程

我们把只含有一个未知数，且未知数最高次数为 22 的等式称为一元二次方程，形式化就是把形如 ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2 + bx + c = 0(a \ne 0) 的等式称为一元二次方程。
为什么这里的 a≠0a \ne 0 呢？我们可以从两个角度考虑：
  1. 根据定义可以知道，必须有一项的次数为 22，否则这个方程就是一个一元一次方程，所以 a≠0a \ne 0。
  2. 根据两个根的关系 ：x1x2=cax_1x_2 = \dfrac{c}{a} 和 x1+x2=−bax_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}，众所周知，00 不能当除数，所以 a≠0a \ne 0。

解(根)

顾名思义，解就是使等式成立的未知数的值，也称为根。一元二次方程的根一般有两个，但是这两个根可能相等；还有一种可能就是这个方程没有实数根。
比如 x2−8x+15=0x^2 - 8x + 15 = 0，这个方程有两个不相等的实数根：x1=3,x2=5x_1 = 3,x_2 = 5，而 x2+1=−1x^2 + 1 = -1 这个方程没有实数根。
总结一下，一元二次方程的根分为两种情况：
  1. 两个根：x1≠x2x_1 \ne x_2 或者 x1=x2x_1 = x_2
  2. 无实数根

解一元二次方程

总述

解一元二次方程共有四种方式，分别为直接开平方法、配方法，因式分解法、公式法。

直接开平方法

这个方法是最简单的一种。比如说 ax2=b(a≠0)ax^2 = b(a \ne 0)，这个瞪眼法直接秒，x1=ba,x2=−bax_1 = \sqrt{\dfrac{b}{a}},x_2 = -\sqrt{\dfrac{b}{{a}}} 但是考试一般不会直接考你直接开平方法，一般会结合配方法一起使用。
优点：计算简便
缺点：过于简单，考试基本不会考

配方法

这个方法的核心就在于把 ax2+bx+c=dax^2 + bx + c = d 的这么一个一元二次方程变成 a(x+m)2=n(a≠0且n≥1)a(x + m)^2 = n(a \ne 0 \text{且} n \ge 1) 的形式，这样我们就可以用直接开平方法快速算出方程的两个根：x1=na−m,x2=−na−mx_1 = \sqrt{\dfrac{n}{a}} - m,x_2 = -\sqrt{\dfrac{n}{a}} - m
这个方法的关键在于要熟练掌握完全平方公式：(x±y)2=x2±2xy+y2(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2
这个方法一般分为五步：
  1. 移项：将常数项移到等号右边
  2. 二次项系数化为一：等式两边同时除以 aa
  3. 等式两边同时加上一次项系数的一半的平方
  4. 写成完全平方公式的形式
  5. 写解
形式化就是：关于 xx 的一元二次方程 ax2+bc+c=dax^2 + bc + c = d
第一步：移项
ax2+bx=d−cax^2 + bx = d - c
第二步：二次项系数化为一
x2+bax=d−cax^2 + \dfrac{b}{a}x = \dfrac{d - c}{a}
第三步：等式两边同时加上一次项系数的一半的平方
x2+bax+(b2a)2=d−ca+(b2a)2x^2 + \dfrac{b}{a}x + (\dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{d - c}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2
第四步：写成完全平方公式的形式
(x+b2a)2=4ad−4ac+b24a2(x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{4ad - 4ac + b^2}{4a^2}
第五步：写解
x1=4ad−4ac+b2−b2a,x2=−4ad−4ac+b2−b2ax_1 = \dfrac{\sqrt{4ad - 4ac + b^2} - b}{2a},x_2 = -\dfrac{\sqrt{4ad - 4ac + b^2} - b}{2a}
优点：计算便捷
缺点：当系数过大时，这个方法非常的不实用
使用条件：bb 为偶数，2∣a2 \mid a 时，这个方法非常好用

关于配方法的技巧

  • 当 a,ba,b 为偶数且 a∣ba \mid b，d−cd- c 为奇数
如果我们前几步按照上面的算，那么计算过程会很麻烦。
这时我们不妨将 ax2+bxax^2 + bx 和 d−cd - c 分开，设 ba=n\dfrac{b}{a} = n。
第一步，将 aa 提取出来 ⇒a(x2+nx)=d−c\Rightarrow a(x^2 + nx) = d - c
第二部，将 a(x2+nx)a(x^2 + nx) 变成 a(x2+nx+n24)a(x^2 + nx + \dfrac{n^2}{4})，同时等号右边变成 d−c+an24d - c + \dfrac{an^2}{4}
第三步到第五步就和上面的一样了。

因式分解法

这个方法既是最简单的，也是最难的一个方法，一般大题用这个方法比较好做。
这个方法的核心就是把 ax2+bx+c=d(a≠0)ax^2 + bx + c = d(a \ne 0) 的这么一个一元二次方程因式分解成 (x+n)(x+m)=0(x + n)(x + m) = 0 的形式，这样方程的两个解为：x1=−n,x2=−mx_1 = -n,x_2 = -m。
这个方法的关键在于要熟练掌握平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 和十字相乘法。
这个方法一般分为四步：
  1. 提：观察各项系数是否有**公因数(式)**可以提
  2. 套：套平方差公式或者十字相乘
  3. 赋值：使两项分别为 00
  4. 写解
我们来举几个例子理解一下这四步：
2x2−12=02x^2 - 12 = 0
我们发现都有公因数 22，那我们就将 22 提出来变成 2(x2−6)=0⇒x2−6=02(x^2 - 6) = 0 \Rightarrow x^2 - 6 = 0
到这里，这道题就解决完了，x1=6,x2=−6x_1 = \sqrt 6,x_2 = -\sqrt 6
2x2+9x+4=02x^2 + 9x + 4 = 0
我们发现这道题每项系数都没有公因数，而且用配方法也不好做，这时候就要请出我们的十字相乘大法。
简单介绍一下十字相乘：
对于二次方程：ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
假设 a=l×ra = l \times r，c=n×mc = n \times m
十字相乘法：
a=l×rc=n×mlnrml→mr→n蓝色箭头表示：l×m和r×n\begin{array}{|c|c|} \hline a = l \times r & c = n \times m \\ \hline l & n \\ r & m \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{c} \color{blue}{l \rightarrow m} \\ \color{blue}{r \rightarrow n} \\ \end{array}\\ 蓝色箭头表示：l \times m 和 r \times n
验证：l×m+r×n=bl \times m + r \times n = b
如果成立，则原式 =(lx+m)(rx+n)=0= (lx + m)(rx + n) = 0
回到这道题，我们发现：
2=1×24=4×114211→12→4\begin{array}{|c|c|} \hline 2 = 1 \times 2 & 4 = 4 \times 1 \\ \hline 1 & 4 \\ 2 & 1 \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{c} \color{blue}{1 \rightarrow 1} \\ \color{blue}{2 \rightarrow 4} \\ \end{array}\\
满足：1×1+2×4=9∴1 \times 1 + 2 \times 4 = 9 \therefore 原式 =(x+4)(2x+1)=0= (x + 4)(2x + 1) = 0
到这里这道题就解决完了，x1=−4,x2=−12x_1 = -4,x_2=-\dfrac{1}{2}
优点：计算便捷
缺点：适用范围小，需要有一定的数感

公式法

这个方法的原理是运用配方法把 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 的解表示出来：
第一步，移项
ax2+bx=−cax^2 + bx = -c
第二步，二次项系数化为一
x2+bax=−cax^2 + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a}
第三步，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方
x2+bax+(b2a)2=−ca+(b2a)2x^2 + \dfrac{b}{a}x + (\dfrac{b}{2a})^2 = -\dfrac{c}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2
第四步，写成完全平方公式的形式
(x+b2a)2=b2−4ac4a2(x + \dfrac{b}{2a})^ 2 = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}
第五步，写解
x1=−b+b2−4ac2a,x2=−b−b2−4ac2ax_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x1=−b+b2−4ac2ax2=−b−b2−4ac2a\begin{array}{|c|c|} \hline x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \hline \end{array}
这两个就是每一个一元二次方程的通解。
我们发现 b2−4acb^2-4ac 的正负直接关系到这个方程解的情况：
b2−4ac{x1≠x2>0x1=x2=0Don’t have Solution<0b^2 - 4ac \begin{cases} x_1 \ne x_2 & >0 \\ x_1 = x_2 &= 0\\ \text{Don't have Solution} & <0 \end{cases}
于是我们称 b2−4acb^2- 4ac 称为根的辨别式，用 Δ\Delta 表示。
这个方法一般有4步：
  1. 找出 a,b,ca,b,c
  2. 判断 Δ\Delta 的正负
  3. 写出根的情况
  4. 写解
举个例子理解一下：
x2−x−1=0x^2-x-1=0
第一步，找出 a,b,ca,b,c
a=1,b=−1,c=−1a = 1,b=-1,c = -1
第二步，判断 Δ\Delta 的正负
Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−1)=5>0\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 5 > 0
第三步，写出根的情况
方程有两个不相等的实数根
第四步，写解
x1=−b+b2−4ac2a=1+52,x2=x2=−b−b2−4ac2a=1−52x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{1 + \sqrt5}{2},x_2 = x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\dfrac{1 - \sqrt5}{2}
优点：适用于所有一元二次方程
缺点：当 a,b,ca,b,c 太大时，不建议使用此方法

两个根的关系

我们都知道一个一元二次方程的解为 x1=−b+b2−4ac2a,x2=−b−b2−4ac2ax_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}，那么这两个根之间有什么关系呢？
x1+x2x_1 + x_2：
−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a=−ba\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = -\dfrac{b}{a}
x1x2x_1x_2：
−b+b2−4ac2a×−b−b2−4ac2a=ca\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \times \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{c}{a}
以上两个式子也称作韦达定理
注意在使用韦达定理时，一定要先满足 Δ>0\Delta > 0。

一元二次方程的简单应用

比赛问题

  1. 单循环比赛
假设每两个队伍之间只比赛一场，比了 nn 场，有 xx 支队伍参加，则有
x(x−1)2=n\dfrac{x(x - 1)}{2} = n
  1. 双循环比赛
假设每两个队伍之间比赛两场，比了 nn 场，有 xx 支队伍参加，则有
x(x−1)=nx(x - 1) = n

传染问题

假设有 aa 个人感染了病毒，经过 nn 传染后有 mm 个人感染了，每轮每人传染 xx 个人，则有
a(x+1)n=ma(x + 1)^n = m

经济问题

假设初始量为 ww，增长(下降)率为 xx，结束量为 nn，增长(减少)了 mm 次，则有
w(1±x)m=nw(1 \pm x)^m = n

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