竞赛图，即任意两点之前有且仅有一条边的有向图。即有向完全图，有 $\dbinom{n}{2}$ 条边。

至于为什么叫竞赛图，就是赢得点向输的点连边，一个边代表的是胜负关系。

我们定义比分序列为将每个点的出度 $s_{i}$ 从小到大排序的序列。

那么若满足 $\sum\limits_{i=1}^k s_{i}\ge \dbinom{k}{2}$ 且当 $k=n$ 时取等（即 $\sum\limits s=\dbinom{n}{2}$），则一定能够造出一种竞赛图，反之不能。

必要性显然，考虑充分性证明，我们构造初始图，对于 $j<i$ 则 $i\to j$ 连边，设此时比分序列为 $a$，这个序列显然在上述条件能够取到等号。保持 $\sum\limits_{i=1}^k a_{i}\le \sum\limits_{i=1}^k s_{i}$，不断调整图直到 $a=s$。

未构造完成时开头必然是一段等于后面接一个 $a_{l}<s_{l}$，为了让后面的方法修改后使得 $a$ 仍然有序，我们找到最后一个 $a_{l}=a_{u}$ 的 $u$，显然有 $a_{u}<s_{u}$。因为总和固定，必然能找到第一个 $v$ 使得 $a_{v}>s_{v}$。

此时有 $a_{u}<s_{u}\le s_{v}<a_{v}$，有 $a_{v}\ge a_{u}+2$。

当 $\exists v \to u$，考虑翻转这条边，否则必然存在 $p$ 使得 $v \to p \to u$，那么把路径反转。因为 $a_{u}<s_{u},a_{i}\le s_{i},\forall i \in (u,v)$，不难证明反转后的序列仍然保持性质（$\sum\limits a \le s$）这样构造下去一定有解。

兰道定理的实质是在一个序列和一定时，可以对于任意两个有关系（边）的位置进行相等量的调整（$s_{i}\leftarrow s_{i}+v,s_{j}\leftarrow s_{j}-v$），那么要判定任意一个值的序列是否与序列值的下界形式一样时，只需要判断是否每个前缀和都大于等于下界，以及最后的和与预期相等即可。证明考虑构造法不断调整。

即：