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【整活】你是怎么磕别人的 /kel

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2025/12/02 17:37
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2025/12/02 17:37
3 个月前
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Part 1 前置知识（知道的敬请跳过）

Part I 钟型曲线

首先，我们要了解掷硬币。对于掷硬币，在大多数情况，概率都是一半对一半（50%50\% 正 50%50\% 反）。也就是说，当我们掷硬币的次数越多，那么抛到正面和反面的次数就越趋近于一半（大数定律）。抛的次数越多，那么这边抛到某个特定次数的概率就是正态分布曲线，即钟型曲线，如图。
霉味钟型曲线
（图片来源于百度）
以上纵轴是发生的概率，横轴是正面（或反面）出现的次数。这里正中央的灰色细线是代表正好 50%50\%，两边是分别递减。可以发现，自中间向两边，概率减小的会越来越缓慢，但是比较旁边的“地带”概率都是趋近于 00 的。这种基本事实叫做中心极限定理。

Part II pp 值的定义（简单死了）

“pp 值”这个词看上去老高深了，其实就是一句话：某个事情发生的概率。就这样，完了。
在数学、科学上，我们经常以 pp 值取 5%5\% 为“可置信水平”，即不发生概率在 5%5\% 以下就是基本上会发生（显然不是一定发生）。

Part 2 开始磕人（？正文在这里

在日常生活中，我们会经常观察到一些现象，比如远方传来某某小 A【数据删除】某某小 B 的言论（不一定是谣言，当然也不一定不是真的）。这样的话语，经常会一传十，十传百，导致可能本来就是谣言（比如开开玩笑），最后不得不被迫变为真实的话语，导致不必要的伤害 （bruh。
《穿井得一人》之中告诉我们，对于一些听起来就不太真，甚至是听起来就是真的事件，我们也要去实践、去调查，搞清楚这件事是否真正发生。更进一步，世界上没有什么绝对的事情，就算你觉得它就是一定，那么也是有可能不是真的。就像，太阳从东边升起是一个常识，但是在某些外星球上，就不是这样子。也就是说，我们应该搞清楚事情发生的条件和概率，才能对事件进行更加准确的估计。
对于一般的情况，我们只要 95%95\% 的置信水平（2020 次中能中 1919 次）就可以了。所以，我们要求出在钟型曲线之下 95%95\% 的面积。对于如上的“钟型曲线”来说，我们可以发现，与 95%95\% 的面积相对应的是 −196%∼196%-196\%\sim196\%。在掷很多枚硬币的情况下，“标准差”是硬币总数平方根的两倍，即，如果硬币数量为 xx，则误差幅度就是 196%2x=98%x\frac{196\%}{2\sqrt{x}}=\frac{98\%}{\sqrt{x}}。换句话说，有 95%95\% 的概率，在掷 xx 枚硬币的时候，掷出来正面（或反面）的数量与 50%50\% 的准确值相比，差距不会超过 98%x\frac{98\%}{\sqrt{x}} [1]^{[1]}。
总结上文一句话：误差幅度（95%95\% 置信水平）就是 98%98\% 除以硬币总数的平方根。现在，就可以进入“磕人”的环节了！
我们从简单的情况开始推。假如，你发现某某小 A 出现了可能是【数据删除】某某小 B 的行为，然后你进行评估，认为小 A 真的【数据删除】小 B 的概率是 50%50\%。也就是说，这就是相当于“掷一枚硬币”。那么，如果想要让误差幅度进入你的“可置信水平”（一般取 pp 值的“可置信水平” 5%5\%），那么就需要进行解不等式（设出现了 xx 次才能达到）： 98%x≤5%\frac{98\%}{\sqrt{x}}\le5\% 解得 x≥384.16x\ge384.16，在整数范围内就是 x≥385x\ge 385。也就是说，如果每天一次，那么只有一年多之后，你才能判断出这是真实发生的。所以，对于那些一看就不大真实，可信率只有 50%50\% 左右，甚至比 50%50\% 还要低的，可以忽略。这些对你来说是无用的信息。
不过，你肯定会说：我身边还有概率更高的，比如 70%70\%，甚至 90%90\% 以上。没事！我们可以进行改动！我们发现：
  • 对于一项发生概率为 k%k\% 的事件，那么它的不发生率就是 (100−k)%(100-k)\%；
  • 然后，我们发现，总会出现一个数，使得 (50%)w=(100−k)%(50\%)^w=(100-k)\%。此时，ww 就是需要掷硬币的数量，来达到这个水平。这是因为，掷硬币正面（或反面）的概率为 50%50\%，掷 ww 次连续掷到正面（或反面）的概率就是 (50%)w(50\%)^w，要保证和某件事情的“不发生率”相等，即 (50%)w=(100−k)%(50\%)^w=(100-k)\%。
在这里，我们提供了一份对照表（上面的 k,wk,w 对照表，保留 22 位小数）：
事件发生率 k%k\%相当于掷了硬币次数 ww
60601.321.32
65651.521.52
70701.741.74
75752.002.00
80802.322.32
85852.742.74
90903.323.32
95954.324.32
99996.646.64
说句闲话：其实发现在 k=99k=99 的时候（概率为 99%99\%），也只代表了连续 6.646.64 次 50%50\%，并不是特别高。
然后，我们就可以带进去用了。刚刚的式子是 98%x≤5%\frac{98\%}{\sqrt{x}}\le5\%，这一次，我们使用如下式子（xx 还是代表要出现的次数）： 98%wx≤5%\frac{98\%}{\sqrt{wx}}\le5\%
同样可以进行解，于是：
事件发生率 k%k\%需要出现的次数 xx整数范围内最小 xx
6060290.59290.59291291
6565253.57253.57254254
7070221.16221.16222222
7575192.08192.08193193
8080165.44165.44166166
8585140.36140.36141141
9090115.64115.64116116
959588.8988.898989
999957.8257.825858
这说明，就算是 99%99\% 的单次置信概率，都需要 5858 次才能到 95%95\% 的“最终置信水平”。实际上，如果想要做到 99%99\% 的“置信水平”，那么只需要把 98%98\% 变为 129%129\% 即可。
这么多数据，应该足够了吧！ 但是答案是否定的。我们还需要更多！比如说，在不同的天数内出现了概率不同的时间，套用上述公式就无法进行计算了。所以，我们还是需要更普遍的公式！
不过这更加普遍的公式推导很简单：将每一个发生率 kk 在上面的对照表上找到 ww，然后我们就得到了一个“综合发生次数”，就能套用第一个不等式进行求解了。
如果共有 nn 个不同的概率，对于第 ii 个概率发生了 xix_i 次这样的时间，这个发生率 kk 所对应的 ww 是 wiw_i，那么综合发生率 AA 求解方式就是：
A=∑i=1nxi⋅wiA=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot w_i
当然如果看不懂（∑\sum 没学过的话），还有一个拆开的通俗公式：
A=x1⋅w1+x2⋅w2+…+xn⋅wnA=x_1\cdot w_1+x_2\cdot w_2+\ldots+x_n\cdot w_n
然后，就没有然后了。套用第一个公式：
98%A≤5%\frac{98\%}{\sqrt{A}}\le5\%
直接套解：A≥384.16A\ge384.16，整数范围内是 A≥385A\ge385。
也就是说，当且仅当你所求的的 AA 大于等于 385385，才有可能是真实的事件。
综上所述：单次代表不了什么，长远才是真理！不信谣，不传谣，从我做起！
正文到此结束，下面是附文。
由于某些存在，我们可以尝试另一个不等式（由上文第一个不等式扩展而来）：
1−(12)x−98%x≥95%1-(\frac{1}{2})^x-\frac{98\%}{\sqrt{x}}\ge95\%
解释一下：前面（1−(12)x1-(\frac{1}{2})^x）是纯的发生率（注意：这里默认的是每个事件发生率 50%50\%，即 12\frac{1}{2}），后面是上面所说的误差幅度。这一个不等式能够得到更加准确的答案，更好地反映真实水平。
让人震惊的是，这个方程的解正好是 x≥384.16x\ge384.16！和上面是一样的！这真是神奇。也就是说，基本上用上文公式即可解决问题，无需复杂化。
附文到此结束，下面是整活。

Part 3 引用（万分感谢 Qwq）

  • [1]^{[1]}：由 杰弗里·S·罗森塔尔 作品《雷劈的真相——神奇的概率事件》之中第 1111 章（第 177177 页的部分内容）改编。

Part 4 这是啥 QAQ

突发奇想，晚上睡觉想到的，然后第二天写下来了。没想到写了 3.8k+3.8k+ 字。可得给我们班的“磕佬”们好好看看去。
如果有不严谨之处，欢迎指出这个蒟蒻的错误（私信、at 等均可）！谢谢大家！
说句闲话，这么点字写了我一个多小时。

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