题解：P12336 第三心脏

验题人题解。

当 $a$ 是偶数时，令 $a=a'\times2^k(a' \bmod 2 \equiv 1)$，用 $a'$ 构造出 $b',c',d'$，显然 $a,b' \times 2^k,c' \times 2^k, d' \times 2^k$ 是合法的解，所以我们只考虑 $a \bmod 2 \equiv 1$ 即可。

下面默认 $a \bmod 2 \equiv 1$。

考虑一下 $b,c,d$ 的奇偶性，因为 $a$ 是奇数，所以 $b,c,d$ 要么全偶，要么全奇。

不妨假设 $b,c,d$ 均为偶数，则令 $a=2A+1,b=2B,c=2C,d=2D$。

条件还是太少了，观察右边的式子，发现 $a \oplus b \oplus c$ 等于常数会好很多，于是我们钦定不妨令 $a \oplus b \oplus c = 1$，这样我们可以拿到 $C=A \oplus B$。

把题目里的式子化一下：$(2A+1)^2+4B^2+4C^2+4D^2=(2D+1)^2 \to A^2+A+B^2+C^2=D$。

那么只需要让 $A,B,C$ 满足 $A<B<C$ 即可，$D$ 显然比 $A,B,C$ 都大，发现此时 $\operatorname{highbit}(B)=\operatorname{highbit}(C)>\operatorname{highbit}(A)$，随便构一构即可。

一种可能的方法是：令 $B=2A,C=A \oplus B$，若 $B>C$ 则交换。

但是发现 $a=1$ 时 $A=0$，则不能直接构造，判一下跑个暴力即可。

于是此题就做完了。