题解：P12037 [USTCPC 2025] 数学分析

Grand_Dawn 还是太神了。

这个积分是有解析解的，所以直接考虑大除法（这个麻烦各位自行手动模拟一下）：

设

P(x) = (x^2 + 1)Q(x) + R(x), \operatorname{deg}(R) < 2, Q(x), R(x) \in \mathbb{Z[x]}

则可以得到

Q_n = P_{n + 2} - P_{n + 4} + P_{n + 6} - \cdots

, 这里

Q_n, P_n

代表

x^n

分别在

Q(x), P(x)

中的系数。

则

Q_n

的递推公式就是：

Q_n = P_{n + 2} - Q_{n + 2}

, 逆序即可。

显然

R(x) = Q_{-1}x + Q_{-2}

则

\displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{P(x)}{x^2 + 1} \mathrm{d} x = \sum_{i = 0}^{n - 2} \int_{0}^1 Q_i x^i \mathrm{d} x + \int_{0}^1 \dfrac{Q_{-1}x}{x^2 + 1} \mathrm{d} x + \int_{0}^1 \dfrac{Q_{-2}}{x^2 + 1} \mathrm{d} x

由于

\displaystyle \int_{0}^1 Q_i x^i \mathrm{d} x = \dfrac{Q_i}{i + 1}, i \in \mathbb{N}

\displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{Q_{-1}x}{x^2 + 1} \mathrm{d} x = \dfrac{Q_{-1}}{2} \int_{0}^1 \dfrac{\mathrm{d}(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \dfrac{Q_{-1}}{2} \ln 2

\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{Q_{-2}}{x^2 + 1} \mathrm{d} x = Q_{-2} \arctan(1) = \dfrac{Q_{-2}}{4} \pi

根据以上公式即可得到最终答案，其中在 C++ 当中，

\ln2

用 log(2) 计算，

\pi

用 acos(-1) 计算。

CPP

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const long long MAXN = 1e5 + 10;
const double A = log(2);
const double B = acos(-1);

inline long long read() {
    long long x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch)) {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

long long n;
double a[MAXN], b[MAXN];

int main() {
    n = read();
    for (long long i = 0; i <= n; i++) scanf("%lf", &a[i]);
    for (long long i = n - 2; i >= 0; i--) b[i] = a[i + 2] - b[i + 2];
    double ans = 0;
    for (long long i = 0; i <= n - 2; i++) ans += (double)(b[i] / ((i + 1) * 1.0000000));
    ans += A * (double)((a[1] - b[1]) / 2.00000000);
    ans += B * (double)((a[0] - b[0]) / 4.00000000);
    printf("%.10lf\n", ans);
    return 0;
}

做为校赛负责人的一员，我来说点闲话：

USTCPC 2025 本事是面向 USTC 所有学生开放的比赛，由于 USTC 所有本科生大一上都学习了数学分析（B1）这门课程（数学系是 A1），所以我们能够保证所有 USTC 学生能够掌握最基本的定积分知识，所以我们将这道题放在签到题的位置上。
但是对于没有接触过定积分的 OIer 而言，这道题的难点就很明显是数学了，很多人尝试使用自适应辛普森法去解决这道题，我的建议是最好不要尝试去走歪路（，这道题对于 OIer 而言没有什么训练价值，反而是帮助你们练习高等数学。
其实我们在样例中也给出了一定的提示：样例二是： $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{4}{x^2 + 1} \mathrm{d} x$ , 数字直觉好一点的同学能明显就能看出来最终答案是 $\pi$ , 所以 $\displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{1}{x^2 + 1} \mathrm{d} x = \dfrac{\pi}{4}$ 是不需要高等数学知识就可以直接得出的。然后你再参考样例一及样例解释，也可以推出 $\displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{x}{x^2 + 1} \mathrm{d} x = \dfrac{\ln2}{2}$ , 最难的两个定积分其实我们已经提供给你们了，如果你连 $\displaystyle \int_{0}^1 x^i \mathrm{d} x = \dfrac{1}{i + 1} ( i \in \mathbb{N})$ 都不会求的话，这道题确实不适合您（

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