1.杨辉三角的定义与构造
杨辉三角，又称帕斯卡三角，是一个无限对称的三角形数阵，其构造遵循以下规则：
1.边界条件： 第
n 行（
n≥0，从0开始计数）有
n+1 个数，首位均为
1，即
C(n,0)=C(n,n)=1；
2.递推关系： 中间第
k 个数（
1≤k≤n−1）等于上一行第
k−1 个数与第
k 个数只和，即
C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)
其中
C(n,k) 表示从
n 个元素中取
k 个数的组合数。
以下是杨辉三角的一部分
TEXT 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
2.杨辉三角的数学本质：二项式系数的集合表示
杨辉三角的第
n 行恰好是二项式
(a+b)n 展开式的系数。根据二项式定理：
证明: 数学归纳法
-
基例：
n=0 时，
(a+b)0=1=C(0,0)，成立。
-
归纳假设：设
(a+b)n−1=∑k=0n−1C(n−1,k)an−1−kbk。
-
归纳步骤：
(a+b)n=(a+b)(a+b)n−1=ak=0∑n−1C(n−1,k)an−1−kbk+bk=0∑n−1C(n−1,k)an−1−kbk=k=0∑n−1C(n−1,k)an−kbk+k=0∑n−1C(n−1,k)an−1−kbk+1=C(n−1,0)an+k=1∑n−1[C(n−1,k−1)+C(n−1,k)]an−kbk+C(n−1,n−1)bn=k=0∑nC(n,k)an−kbk
故等式成立。
3.杨辉三角的核心性质及证明
(1)对称性
性质：
C(n,k)=C(n,n−k)。
证明：由组合数公式
C(n,k)=k!(n−k)!n!，C(n,n−k)=(n−k)!k!n!
显然两者相等
(2)行和公式
性质：第
n 行所有数之和为
2n，即
∑k=0nC(n,k)=2n。
证明：在二项式定理中令
a=1,b=1，得
(1+1)n=k=0∑nC(n,k)1n−k1k⟹2n=k=0∑nC(n,k)
(3)斜线和数列
性质1（自然数序列）：第2条斜线（从左起，不含首尾1）为
C(n,1)=n(n≥1)。
证明：由组合公式
C(n,1)=1!(n−1)!n!=n。
性质2（三角形序列）：第3条斜线为
C(n,2)=2n(n−1)（n≥2），即
1,3,6,10,...（三角数）。
证明：
C(n,2)=2n(n−1)
(4)模运算性质