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最小生成树复习

WWilliam2022
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2025/12/02 09:17
3 个月前
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2025/12/02 09:17
3 个月前
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最小生成树专题

基本算法

  1. 路径压缩：优化并查集查找操作
  2. Kruskal算法：按边权从小到大排序，贪心选择不形成环的边
  3. Prim算法：从单点出发，逐步扩展最小生成树
  4. Dijkstra算法：解决单源最短路径问题，与Prim算法类似

练习：自编MST问题变种

略。

例题1：多重覆盖问题

问题特点

需要多次求解MST，每次求解后删除已使用的边。

暴力解法

时间复杂度约为 O(m2n)O(\frac{m^2}{n})，对于大规模问题效率较低。
即使你使用并查集等删除方式快速跳也能卡掉！

优化思路

  1. 分层并查集：维护多个MST构建过程
  2. 二分查找：使用二分查找确定边应该加入哪个MST半成品

核心思想

当顺序枚举效率低下时，考虑使用二分查找优化。

特殊图的最小生成树

出题思路

设计无法直接使用Kruskal算法的问题，需要利用图的特殊性质。
这是出题比较流行的。

例题2：化拳为空 & 例题3：Fenced In P

这两题与P5687 网格图类似，处理特殊网格结构的MST问题。

解决方法

  1. 行列分离处理：分别处理行间连边和列间连边
  2. 边权分类：利用边权种类少的特性优化算法

例题4：排列生成树

完全图的边权由生成函数确定，无法直接使用传统Kruskal算法。

算法设计思维

  1. 问题特征分析：识别问题中"多"和"少"的元素（如边很多但种类很少）
  2. 避免硬套算法：比赛题目通常具有特殊性，需要灵活应对
  3. 块处理思想：对数据进行分组或分块处理以提高效率

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