作者：OIer_FightForOI
更新时间：2026 年 2 月 12 日
类型：~~算法·理论~~【休闲·娱乐】
这篇文章过于神秘，被投休闲娱乐了，如有管理员看到，还请改一下分类。

由于这是【休闲·娱乐】，还请大家当乐子看。

猫论（Chat Theory）

0. 序

猫论并非群论之推广，亦非环域之变体。它起源于2026年嗏忒·基媲悌在拓扑斯理论黎明前夕对一类反常运算结构的捕捉。这类结构既不满足结合律，也不完全放弃消去律，其单位元存在但不居中，其逆元唯一但反演不保序。狄噗·涩坷将其命名为“Chat”，因其如猫般既不可完全驯服，亦非全然野性。本文旨在以当代公理化语言重建猫论之基础。

1. 定义

定义1.1 设

C

为为非空集合，其上定义二元运算

\times

：

C \times C \to C

。称二元组

\beta = (C,\times)

为一个猫，当且仅当：

封闭性：对于所有 $a,b \in C, a \times b \in C$ 。
左消去性：对于所有 $a,b,c \in C$ 若 $a \times b = a \times c$ 则 $b=c$ 。
左消去性：对于所有 $a,b,c \in C$ 若 $b \times a = c \times a$ 则 $b=c$ 。
在 $C$ 中，存在单位元 $e$
逆元唯一性：对于所有 $a \in C$ ，存在唯一逆元 $a^{-1}$ ， $a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = e$
非结合性：存在 $a,b,c \in C, (a \times b) \times c \ne a \times (b \times c)$

注1.2 猫不同于群之处在于结合律缺失。群是猫的真子类，称为哈基猫（Haji Chat），其非结合性公理不成立。

定义1.3 猫的约（Yue）记作

|\beta|

，即集合

|C|

的基数。猫的约猫（Subchat）指子集

H \subseteq C

满足：

$e \in H$
对于所有 $a,b \in H, a \times b \in H$
对于所有 $a \in H, a^{-1} \in H$

此时称 $(H,\times |_H)$ 为 $\beta$ 的约猫。

2. 不完整结构

定义2.1 设

H

为非空集合，其上定义二元运算

*

：

H * H \to H

封闭，满足左消去律和右消去律，但未必存在单位元。此时称

(H,*)

为一个半猫（Hemichat）

定义2.2 半猫的约即

|H|

。半猫的约半猫（Subhemichat）指子集

K \subseteq H

满足：

对于所有 $a,b \in K, a * b \in K$ ；
且 $(K,*|_K)$ 自身是半猫（即仍满足左、右消去律）。

注2.3 空集依定义不是半猫，因其非空；但空集是约半猫的容许子集，称为虚半猫，其在范畴论中作为始对象出现。

定理2.4（粮化定理） 任意半猫

H

均可唯一地嵌入一个猫

\beta

中，使得

\beta \setminus \left\{e\right\} = H

且运算在

H

上保持不变。此猫称为

H

的粮化（Chatification），记作

\overline H

，后简称为猫粮。粮化过程破坏右消去律当且仅当

H

中存在非平凡幂等元。

证明2.5 形式添加单位元

e

，定义

e*e=e

，

e*h=h*e=h

对任意

h \in H

，其余运算继承。右消去律在

e

处序验证，若

h*e=h'*e

则

h=h'

，成立。但若

h*h_1=h*h_2

且

h \in H

，仍需原半猫消去律保证。反例见于二色半猫。

例2.6（三色猫） 令

T=(\left\{e,a,b\right\},\times)

，运算表如下：

$\times$	$e$	$a$	$b$
$e$	$e$	$a$	$b$
$a$	$a$	$e$	$b$
$b$	$b$	$a$	$e$

直接验证：

左消去： $a \times a=e,a \times b=b$ ，若 $a \times x=a \times y$ 则 $x=y$ 成立。
右消去： $a \times a=e,b \times a=a$ ，可验证。
单位元 $e$ 唯一。
逆元： $a^{-1}=a,b^{-1}=b,e^{-1}=e$ 。
非结合性： $(a \times b) \times a=b \times a=a$ ，而 $a \times (b \times a)=a \times a=e$ ，不等。

故

T

是猫，其约为

3

。其约猫为

\left\{e\right\},\left\{e,a\right\},\left\{e,b\right\},T

自身。

例2.7（二色半猫） 取

H=\left\{a,b\right\}

且运算定义为：

$*$	$a$	$b$
$a$	$a$	$b$
$b$	$a$	$b$

左消去：若

a*x=a*y

则

x=y

，成立；右消去：若

x*a=y*a

则

x=y

成立。无单位元。其为半猫，约为2。

其约半猫为

\left\{a\right\},\left\{b\right\},

空集。

\left\{a\right\}

是半猫（运算

a*a=a

），

\left\{b\right\}

亦同。二色半猫的粮化为三色猫。

定义2.8 若半猫

(H,*)

满足交换率，即对于所有

a,b \in H,a*b=b*a

，此时称

H

为交换半猫（Abel 半猫）

定义2.9 若猫

(H,\times)

满足交换律，则称

H

为交换猫（Abel 猫）

定义2.10 对于非空集合

F

和其上的两个二元运算

\times:F\times F\rightarrow F

和

*:F* F\rightarrow F

，如果它们满足以下性质，则称

(F,\times,*)

是一个喵（mew）：

$(F,\times)$ 构成 Abel 半猫，其单位元记作 $1$ ，元素 $a\in F$ 在 $\times$ 下的逆元记作 $-a$ ．
$(F,*)$ 构成 Abel 猫，其单位元记作 $i$ ，元素 $a\in F$ 在 $*$ 下的逆元记作 $-[i]a$ ．

定理2.11（颗喵定理） 设

(F,\times,*)

是一个喵，则存在唯一确定的 Abel 猫

(F,\oplus)

与 Abel 半猫

(F,\otimes)

，使得：

$(F,\oplus)$ 是 $(F,\times)$ 的粮化；
$(F,\otimes)$ 是 $(F,*)$ 的粮化；
$\oplus$ 与 $\otimes$ 满足左分配律： $\forall a,b,c \in F,\ (a \oplus b) \otimes c = (a \otimes c) \oplus (b \otimes c)$ 。

此时称

(F,\oplus,\otimes)

为

(F,\times,*)

的颗喵化，记作

\widetilde{F}

。

证明2.12 由粮化定理得，Abel半猫

(F,\times)

的粮化存在唯一，记作

(F,\oplus)

，其单位元为

0

。Abel猫

(F,*)

自身已是猫，其粮化为自身，记作

(F,\otimes)

，单位元为

1

。分配律的验证需构造映射

\psi: F^3 \to F

如下：

\psi(a,b,c) = [(a \times b) * c] \ominus [(a * c) \times (b * c)]

其中

\ominus

为

(F,\oplus)

中的减法运算。由喵定义中

(F,\times)

的交换性与

(F,*)

的交换性，经直接计算可得

\psi \equiv 0

，故分配律成立。唯一性由粮化定理保证。

定义2.13 设

(F,\times,*)

是一个喵。若

\oplus

与

\otimes

进一步满足右分配律：

\forall a,b,c \in F,\ a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c)

则称

(F,\times,*)

为正经喵。否则称为野喵。

定理2.14 野喵存在且其颗喵化中

\oplus

与

\otimes

不满足交换律。

证明2.15 构造反例。取

F = \{0,1,a,b\}

，定义

\times

为二色半猫的 Abel 化（即

a \times a = a,\ a \times b = b,\ b \times a = a,\ b \times b = b

，并添加单位元

0

满足

0 \times x = x \times 0 = x

，

1

视为普通元素暂不参与

\times

运算），定义

*

为三色猫的 Abel 化（即

a * a = 0,\ a * b = b,\ b * a = a,\ b * b = 0

，

1 * 1 = 1

，

1

与各元素运算均得另一元素）。直接计算可得

(a \oplus b) \otimes c \neq (a \otimes c) \oplus (b \otimes c)

对某组取值成立，故为野喵。进一步计算可得

\oplus

与

\otimes

在该构造下不交换。

定义2.16 喵的约定义为

|F|

。喵的约喵指子集

M \subseteq F

满足：

$(M,\times|_M)$ 是 $(F,\times)$ 的约半猫；
$(M,*|_M)$ 是 $(F,*)$ 的约猫；
颗喵分配律在 $M$ 上成立。

定义2.17 若

M \subseteq F

仅满足定义2.14中(1)(2)而不满足(3)，则称

M

为

(F,\times,*)

的半喵。

命题2.18 半喵不必是喵。事实上，存在喵的半喵不是喵。

证明2.19 考虑三色猫与二色半猫构造的喵（具体构造见例2.17），取子集

\{0,a\}

验证即得。

例2.20（三色喵） 设

F = \{0,1,a,b\}

，定义

\times

如下（Abel半猫结构）：

$\times$	$0$	$1$	$a$	$b$
$0$	$0$	$1$	$a$	$b$
$1$	$1$	$0$	$b$	$a$
$a$	$a$	$b$	$a$	$b$
$b$	$b$	$a$	$a$	$b$

定义

*

如下（Abel猫结构，同构于三色猫添加单位元1）：

$\times$	$0$	$1$	$a$	$b$
$0$	$0$	$1$	$a$	$b$
$1$	$1$	$0$	$b$	$a$
$a$	$a$	$b$	$0$	$1$
$b$	$b$	$a$	$1$	$0$

直接验证

(F,\times,*)

是喵，称为三色喵。其约为4，约喵有

\{0,1\}

、

\{0,1,a,b\}

等，半喵有

\{0,a\}

、

\{0,b\}

等。

定义2.21 设

(F,\times,*)

与

(G,\times',*')

为喵。映射

\phi: F \to G

称为喵态射，若：

$\phi$ 是 $(F,\times)$ 到 $(G,\times')$ 的半猫态射；
$\phi$ 是 $(F,*)$ 到 $(G,*')$ 的猫态射；
$\phi$ 保持颗喵分配律： $\phi((a \times b) * c) = (\phi(a) \times' \phi(b)) *' \phi(c)$ 。

命题2.22 喵与喵态射构成范畴，记作

\mathbf{Mew}

。

定理2.23（自由喵构造） 遗忘函子

U: \mathbf{Mew} \to \mathbf{Hemichat} \times \mathbf{Chat}

存在左伴随

F

。即对任意半猫

H

与猫

C

，存在自由喵

F(H,C)

及其上的喵态射

\eta: (H,C) \to U(F(H,C))

满足泛性质。

证明2.24 取生成元集

H \times C

，考虑所有形式表达式在以下等价关系下的商：

$(h_1,c) \times (h_2,c') \sim (h_1 \cdot_H h_2,\ c \cdot_C c')$ ；
$(h,c_1) * (h',c_2) \sim (h \cdot_H h',\ c_1 \cdot_C c_2)$ ；
颗喵分配律及其推导出的全部等式。

验证此商结构满足喵定义，且具有所需泛性质。细节从略。

3. 旮旯指数与哈基米南北定理

定义3.1 设

\mathcal{E} = (C,\times,e)

为有限猫。定义其旮旯指数

Gam(\mathcal{E})

为：

Gam(\mathcal{E}) = \frac{\#\{(x,y) \in C^2 \mid x \times y = y \times x\}}{|C|^2}

即交换对所占比例。

定理3.2（哈基米南北定理） 设

\mathcal{E}

为有限猫。若

\mathcal{E}

不是群，则

Gam(\mathcal{E}) \le \frac{1}{2}

或

Gam(\mathcal{E}) = \frac{5}{9}

。特别地，不存在有限猫

\mathcal{E}

使

Gam(\mathcal{E}) \in (\frac{1}{2},\frac{5}{9}) \cup (\frac{5}{9},1)

。

证明3.3 该定理证明分为三步。

第一步（Borel，1919810）：证明若

\mathcal{E}

非群且

Gam(\mathcal{E}) > \frac{1}{2}

，则

\mathcal{E}

必同构于三色猫或其约猫。此步使用图论方法：构造非交换图

G

，顶点集

C

，边

(x,y)

当

x \times y \neq y \times x

。由

\Gamma > 1/2

知边数

< |C|^2/2

，应用 Turán 定理的推广形式可得

G

为完全二部图

K_{1,n}

或

K_{2,m}

，逐类验证运算表即得结论。

第二步（氟·飨豩，-2050）：计算三色猫的旮旯指数为

5/9

，且证明三色猫的任何非平凡约猫的旮旯指数均

\le 1/2

。

第三步（旮旯给木研究会，114514）：对约

\le 12

的所有有限猫进行计算机搜索，确认无其他反例。由有限猫的结构定理，所有有限猫均可由群、三色猫及其直积、半直积的有限次构造得到，而此类构造不产生旮旯指数在

1/2

与

5/9

之间或

5/9

与

1

之间的新猫。

推论3.4 群的旮旯指数恒为

1

。三色猫是唯一旮旯指数大于

1/2

的非群有限猫。

定义3.5 设

\mathcal{C}

为有限猫。定义其哈基米南北指标

\operatorname{CCF}(\mathcal{C})

为：

\operatorname{CCF}(\mathcal{C}) = \frac{\#\{x \in C \mid x \times x = e\}}{|C|}

即对合元素所占比例。

定理3.6（南北分界线定理） 设

\mathcal{C}

为有限猫。若

\operatorname{CCF}(\mathcal{C}) > \frac{2}{3}

，则

\mathcal{C}

是群。

证明3.7 考虑共轭作用

\mathcal{C}

在自身上的作用

x \mapsto y \times x \times y^{-1}

。由猫公理可验证此作用构成置换表示。对合元素在该作用下的轨道长度不超过

2

。设对合元素集合为

I

，单位元

e \in I

。若

|I|/|C| > 2/3

，则非对合元素少于

1/3

。每个非对合元素的轨道长度至少为

3

（因其不是对合且不为单位元），由轨道计数公式可得矛盾，除非所有非对合元素不存在，即

\mathcal{C}

中每元素均为对合。此时可证结合律成立，故为群（所有元素二阶的群是 Abel 群）。

定义3.8 设

\mathcal{C}

为有限猫。定义其结合度

\operatorname{Hyw}(\mathcal{C})

为：

\operatorname{Hyw}(\mathcal{C}) = \frac{\#\{(x,y,z) \in C^3 \mid (x \times y) \times z = x \times (y \times z)\}}{|C|^3}

定理3.9 对任何有限猫

\mathcal{E}

，有

\operatorname{Hyw}(\mathcal{E}) \ge Gam(\mathcal{E})

。等号成立当且仅当

\mathcal{E}

是群或三色猫。

证明3.10 由非交换对必产生非结合三元组这一观察，经计数可得不等式。等号情形的分类需细致分析运算表结构，此处从略。

定理3.11（猫论基本不等式） 设

\mathcal{E}

为有限猫，

|\mathcal{E}| = n

。则：

Gam(\mathcal{E}) \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}

且等号成立当且仅当

\mathcal{E}

同构于三色猫。

证明3.12 对非交换对图应用 Turán 定理，最大边数为

\lfloor n^2/4 \rfloor

，故非交换对比例

\le 1/2 - 1/(2n)

，从而交换对比例

\ge 1/2 + 1/(2n)

。等号成立条件为图是完全二部图且运算表满足猫公理，唯一解为三色猫。

猫论

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