数值积分目前已经有很多方法计算，例如矩形法、梯形法、抛物线法(Simpson法)等。但是这些方法对于较复杂的被积函数，收敛速度就显得慢了。

看梯形法和抛物线法的表达式，会发现这两个方法的结果可以理解为一系列点的函数值，乘上某个系数后求和。这两种方法都是均匀分割区间来进行求和，至少具有$n-1$的代数精度。而高斯积分法并不是均匀分割区间，而是计算不同高斯节点，乘以每个点的权重后再求和。它具有$2n+1$的代数精度，可精确处理$2n+1$次以下多项式积分。

高斯积分法处理$[-1,1]$上的$f(x)$。我们可以用区间变换实现处理$[a,b]$。这里介绍高斯积分法如何进行数值计算。高斯积分法可理解为以下公式： $\int_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=\sum_{j=0}^{n}w_{j}f(x_{j})$

$w_j$就是权重。

高斯积分法节点使用勒让德多项式计算。

勒让德(Legendre)多项式满足以下性质：当某个多项式$P(x)$的次数小于$n$时，有

并且满足递推关系：

这样，我们便求得

以此类推。$n$阶高斯积分法的节点便是$P_n(x)$的根。注意到，$P_n(x)$的根全部处于$[-1,1]$上，它具有$n$个实根。

$n$阶高斯积分法的系数有如下公式：

例如：要计算 $\int^{1}_{-1}x^2\mathrm{d}x$ 这里我们选用2阶高斯积分公式。先求 $P_{2}(x)=\frac{3x^2-1}{2}$ 的根，注意到是 $\left[-\frac{1}{\sqrt{3}} ,\frac{1}{\sqrt{3}} \right]$ 也就是$[-0.5773502691896257, 0.5773502691896257]$。

再求出权重$w=[1,1]$。代入得 $\int^{1}_{-1}x^2\mathrm{d}x \approx \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2+\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2=\frac{2}{3}$ 这方法只计算了2次得到了准确结果。

以上便是高斯积分法的基本思路。在实际应用时，我们可以提前计算好节点和权重，之后直接调用。