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浅谈不同进制的转换方法
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- 2025/12/02 05:33 3 个月前
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- 2025/12/02 05:33 3 个月前
一、进位计数制的概念
将数字符号顺序排列成数位，并按照某种由低位到高位的进位方式计数表示数值的方法，称为进位计数制。
1.1 十进制
最常见的进位计数制，逢十进一，一般用于人的数学计算。
1.2 二进制
计算机使用的进位计数制，逢二进一，因为二进制只有有（ 1 ）与无（ 0 ），正好对应了晶体管计算机的亮与灭，所以对于计算机而言，二进制方便计算。
1.3 其他进制
除了十进制与二进制，常用的还有八进制、十六进制等。当进位计数制的进制位超过了 10 ，则用大写字母 A - Z 来代替 10 - 35 。
tips：一般情况（如生活、考试）进制位是不会超过 Z 的。
1.4 权
1.4.1 权的概念（定义）
进制中各位数字所表示的数值为该数的值乘数字所处位置的常数，这个常数就是“权”。特别的，小数位的权为负数。
“权”在进制的转换中很重要，不可或缺。
1.4.2 用“值乘权”表示一个数
举例：用“值乘权”的方式表示十进制数 。
分析：在用“值乘权”的方式表示数时，我们首先需要列出这个数的每一位，再写出每位的权，最后表示出这个数。
正解：根据十进制数 ，可列出下表：
| 位 | 万位 | 千位 | 百位 | 十位 | 个位 |
|---|---|---|---|---|---|
| 值 | 1 | 3 | 5 | 6 | 2 |
| 权 | |||||
| 表示 |
依据上表可得十进制数13562可以表示为：
二、十进制与其他进制的转换
2.1 十进制转二进制
在计算十进制转二进制时，我们一般采用“整除取余法”来把十进制转成二进制
例：把十进制数 转成二进制。
分析：在把十进制转成二进制时，我们需要不断地除二，求出每次的余数，再逆序把余数连起来，就是这个十进制数对应的二进制数。
正解如下：
2.2 二进制转十进制
二进制转十进制只需要把二进制数用“值乘权”的方法表示处来，在正常用十进制算出结果，就是这个二进制数对应的十进制数。
再来个例题辅助理解：
把二进制数 转成十进制数
分析：我们首先需要将 表示为“值乘权”，再直接算出结果
正解：
2.3 十进制与其他进制的转换
十进制与其他进制的转换方式一致，只需将上面（ 2.1 、 2.2 ）的二进制替换成对应进制再计算即可。
三、一些特殊进制直接转换的方法（重点）
在把一个非十进制数转成另一个非十进制数时，往往需要借助十进制进行“中转”，但有些特殊的进制，可以直接转换。
3.1 八进制与二进制的转换
因为 ，所以在把八进制转成二进制时，我们可以将其划分成 位为一个部分，再将每部分转成二进制，最后连接在一起，就是其对应的二进制。
例题：把八进制数 转成二进制数。
分析：因为 ，所以可以从个位起，将 分成两个部分：（不足补 ） 和 ，在将每部分转成二进制。
正解：
八进制数 可以按每3为一部分，分为 和 。分别转成二进制是 和 ，连起来是 。所以八进制数 转成二进制数是 。
3.2 十六进制与二进制的转换
和上方（ 3.3 ）相似。因为 ，所以在把十六进制转成二进制时，我们可以将其划分成 位为一个部分，再将每部分转成二进制，最后连接在一起，就是其对应的二进制。
例题：把十六进制数 转成二进制数。
分析：因为 ，所以可以从个位起，将 分成两个部分：（不足补 ） 和 ，在将每部分转成二进制。
正解：
十六进制数 可以按每4为一部分，分为 和 。分别转成二进制是 和 ，连起来是 。所以十六进制数 转成二进制数是 。
四、用C++实现进制转换与相关例题
例题1（ 10 转 N 进制）
题目传送门： B3849 [GESP样题 三级] 进制转换
B3849 [GESP样题 三级] 进制转换此题只是将 10 进制数转成别的进制，所以我们可以用 while 来模拟 2.1 中的连续带余除法，再判断余数，将其存入字符串，大于 10 转成大写字母，小于 10 直接存储，最后逆序输出
函数实现：
CPPchar c[26]={'A','B','C','D','E','F','G','H','I','J','K','L','M','N','O','P','Q','R','S','T','U','V','W','X','Y','Z'};
void turn(int n,int a){
int x[10000],i,j,k=0;
if(n<0){ // 考虑负数
cout<<"-";
}
j=abs(n);
do{
k++;
i=j%a;
j/=a;
x[k]=i;
}while(j!=0);
for(int h=k;h>=1;--h){
if(x[h]<10){ // 判断并输出
cout<<x[h]; // 小于10
}
else{
cout<<c[x[h]-10]; // 大于10
}
}
}
主函数的代码略，亲测 AC 。
例题2（十进制与二进制互转）
题目传送门：P1100 高低位交换
在此题中，我们可以将十进制数先转成二进制数，存入字符串并补 ，再直接互换高低位，最后转回十进制。
但此题还可以使用位运算直接转换，即
(((n & 0x0000ffff) << 16) | ((n & 0xffff0000) >> 16)) 即可将十进制数转二进制数进行操作在转回十进制。整体代码略，亲测 AC 。
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