题解：CF2121C Those Who Are With Us

\color{blue}{\texttt{[Problem Discription]}}

给定一个

n \times m

的表格

a_{i,j}

，你可以恰好进行一次如下操作：

选择一个格点 $(r,c)$ 。
对于所有满足 $i=r$ 或者 $j=c$ 的格点 $(i,j)$ ，使 $a_{i,j} \leftarrow a_{i,j}-1$ 。

求操作后所有格点最大值最小可能为多少。

多组数据，满足

1 \leq n \times m \leq 1 \times 10^{5}

，且所有数据的

n \times m

的总和不超过

2 \times 10^{5}

。

\color{blue}{\texttt{[Analysis]}}

记原来矩阵的最大值为

t

，显然由于只能进行一次操作，且一次操作最多让一个格点的值减小

1

，所以最终答案要么是

t

，要么是

(t-1)

。

思考哪些情况会让答案为

(t-1)

。

显然，当所有取得最大值的格点要么分布在第

r

行要么分布在第

c

列时，我们可以通过一次操作

(r,c)

把所有最大值都干掉；否则答案为

t

不变。

统计每一行每一列有多少个最大值，分别记为

\text{cntr}_{i},\text{cntc}_{j}

，显然第

i

行和第

j

列的最大值的个数即为：

f(i,j)=\text{cntr}_{i}+\text{cntc}_{j}- \left [a_{i,j}=\max\limits_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} \{a_{i,j} \}\right ]

显然预先统计出最大值的个数

\text{cnt}

，如果某个格点

(i,j)

满足

f(i,j)=\text{cnt}

，那么这个

(i,j)

就是我们需要的格点。

\color{blue}{\text{Code}}

CPP

const int N=1e5+100;

int OneZDoubleY(){
	int n=read(),m=read();
	vector<int> a[n+2];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i].push_back(0);
		for(int j=1;j<=m;j++)
			a[i].push_back(read());
	}
	
	int maxn=a[1][1];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			ckmax(maxn,a[i][j]);
	
	int cnt=0;
	vector<int> cntr(n+1),cntc(m+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if (a[i][j]==maxn){
				++cntr[i];
				++cntc[j];
				++cnt;
			}
	
	bool flag=false;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			int t=cntr[i]+cntc[j];
			if (a[i][j]==maxn) t--;
			
			if (t==cnt){
				flag=true;
				break;
			}
		}
	
	return printf("%d\n",flag?maxn-1:maxn);
}
//大家可以挑战一下不用 vector，用 malloc 来处理

int main(){
	int T=read();
	while (T--) OneZDoubleY();
	
	return 0;
}

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