人教版数学选修二知识点整理

第四章 数列

4.1 数列的概念

1. 定义：按一定顺序排列的一列数，记作 $\{a_n\}$
2. 项与通项：第 $n$ 项 $a_n$ 称为通项，$a_1$ 为首项
3. 通项公式：$a_n = f(n)$（如 $a_n = 2n+1$）
4. 递推公式：用前一项定义后一项（如 $a_{n+1} = a_n + d$）
5. 分类：
   • 按项数：有穷数列 / 无穷数列
   • 按增减性：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列

4.2 等差数列

1. 定义：相邻两项的差为常数 $d$（公差），即 $a_{n+1} - a_n = d$
2. 通项公式：
   $a_n = a_1 + (n-1)d$
3. 前 $n$ 项和：
   $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$
4. 等差中项：若 $a, A, b$ 成等差，则 $A = \frac{a+b}{2}$

4.3 等比数列

1. 定义：相邻两项的比为常数 $q$（公比），即 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \ (q \neq 0)$
2. 通项公式：
   $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
3. 前 $n$ 项和： na_1 & (q=1) \\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} & (q \neq 1) \end{cases} $$
4. 等比中项：若 $a, G, b$ 成等比，则 $G = \pm\sqrt{ab}$

4.4* 数学归纳法

1. 步骤：
   • 基例：验证 $n = n_0$ 时命题成立
   • 归纳假设：假设 $n = k$ 时命题成立
   • 归纳递推：证明 $n = k+1$ 时命题成立
2. 应用：证明与正整数相关的命题（如数列通项公式）

第五章 一元函数的导数及其应用

5.1 导数的概念及其意义

1. 平均变化率：
   $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}$
2. 瞬时变化率（导数）：
   $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
3. 几何意义：曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率
4. 物理意义：瞬时速度 $v(t) = s'(t)$，瞬时加速度 $a(t) = v'(t)$

5.2 导数的运算

1. 基本导数公式：
   • $(C)' = 0$
   • $(x^n)' = nx^{n-1}$
   • $(\sin x)' = \cos x,\ (\cos x)' = -\sin x$
   • $(e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \frac{1}{x}$
2. 四则运算法则：
   • $[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$
   • $[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
   • $\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$
3. 复合函数求导（链式法则）：
   $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

5.3 导数在研究函数中的应用

1. 单调性判断：
   • $f'(x) > 0 \Rightarrow f(x)$ 单调递增
   • $f'(x) < 0 \Rightarrow f(x)$ 单调递减
2. 极值与最值：
   • 极值必要条件：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取极值，则 $f'(x_0) = 0$
   • 极值充分条件：导数在 $x_0$ 两侧符号相反
   • 最值求法：比较区间端点与极值点的函数值
3. 实际应用：优化问题（如最大利润、最小成本）