李文威高等代数 2 期末复习

11. 群 - 讲义回顾

• 轨道：$Gx:=\{gx:g\in G\}\subset X$ 又称为 $G$-轨道。
• 稳定化子：$\mathrm{Stab}_G(x)=\{g\in G:gx=x\}\subset G$ 。

• 若 $\bigcap_{x\in X}\mathrm{Stab}_G(x)=\{1_G\}$，则称此作用 忠实 。
• 若对所有 $x$ 皆有 $\mathrm{Stab}_G(x)=\{1_G\}$，则称此作用 自由 。
• 若 $X$ 仅有一个轨道，则称此作用 传递 。

$$|G/X|\cdot |G|=\sum_{g\in G}|X^g|$$ $$\begin{aligned} \sum_{g\in G}|X^g|=\sum_{x\in X}|\mathrm{Stab}_G(x)|&=|X|\cdot|\mathrm{Stab}_G(x_0)|\\ &=(G:\mathrm{Stab_G}(x_0))\cdot|\mathrm{Stab}_G(x_0)|=|G| \end{aligned}$$

• Sylow 第一定理：存在 Sylow $p$-子群。
• Sylow 第二定理：任两个 Sylow $p$-子群 $P,P'\subset G$ 皆共轭。
• Sylow 第三定理：令 $N_p$ 为 $G$ 中的 Sylow $p$-子群个数，则 $N_p\equiv 1\pmod{p}$ 且 $N_p\mid |G|$ 。

$$|X|\equiv {p^am\choose p^a}\equiv{m\choose 1}\equiv m\not\equiv 0\pmod{p}$$ $$(n,h)(n',h'):=(n\varphi_h(n'),hh')$$ $$1_{N\rtimes H}=(1_N,1_H),\quad (n,h)^{-1}=(\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1})$$

11. 群 - 习题选做

3. 设 $G$ 为群。(i)：证明若 $H,K$ 为 $G$ 的子群，$G=H\cup K$，则必有 $G=H$ 或 $G=K$ 。(ii)：给定一族递增子群 $G_1\subset G_2\subset\cdots$ 证明 $\bigcup_{k=1}^{\infty}G_k$ 仍为 $G$ 的子群。

4. 设 $G$ 是有限半群，而且满足左消去律和右消去律。证明 $G$ 是群。

6. 设 $a,b$ 属于群 $G$ 。(i)：证明若 $ab$ 是有限阶元素，则 $ba$ 亦然。此时 $\mathrm{ord}(ab)=\mathrm{ord}(ba)$ 。(ii)：举例说明 $a,b$ 有限阶时，$ab$ 未必有限阶。

8. 设群 $G\not=\{1\}$ 。说明 $G$ 没有非平凡真子群的充要条件是 $G$ 同构于素数阶循环群。

9. 证明对成群 $\mathfrak{S}_n$ 的中心在 $n\geq 3$ 时平凡。

11. 证明若 $G/Z_G$ 是循环群，则群 $G$ 交换。

12. 设 $p$ 为素数。证明满足 $|G|=p^2$ 的群 $G$ 皆交换。

13. 证明若 $G$ 有真子群 $H$ 使得 $(G:H)$ 有限，则存在 $N\lhd G$ 使得 $N\not=G$ 而 $(G:N)$ 有限。

16. 设有限群 $G$ 满足以下条件：对所有 $d\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$，集合 $\{x\in G:x^d=1\}$ 至多只有 $d$ 个元素，记 $n:=|G|$ 。

(i)：说明对于所有 $d\mid n$，集合 $\{g\in G:\mathrm{ord}(g)=d\}$ 或者是空集，或者有 $\varphi(d)$ 个元素。 (ii)：基于 (i)，说明 $G$ 是 $n$ 阶循环群。

17. 设 $F$ 为域，利用上一题的结果，证明 $F^{\times}$ 的所有有限子群皆为循环群。作为推论，若 $F$ 是有限域，则 $F^{\times}$ 是循环群。

19. 设群 $G$ 的自同构只有恒等，求证 $|G|\leq 2$ 。

23. 证明交换单群 $G$ 必然同构于 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，其中 $p$ 是素数。

26. 设 $p>q$ 为两个素数，群 $G$ 满足 $|G|=pq$ 。

(i)：证明存在正规子群 $P$ 使得 $(G:P)=q$ 。 (ii)：证明若 $q\not\mid p-1$，则 $G$ 是循环群。 (iii)：设 $G_1,G_2$ 均为非交换群，且阶均为 $pq$，证明它们同构。 (iv)：设 $p$ 为奇素数，证明 $2p$ 阶非交换群必然同构于 $D_{2p}$ 。

counting (8). 分类所有 $8$ 阶群。

counting (12). 分类所有 $12$ 阶群。

12. 模 - 讲义回顾

$$M=\bigoplus_{i=1}^{n}M[p_i^{a_i}]$$ $$M=\bigoplus_{p:素元/\sim}M[p^\infty]$$ $$M\simeq R/I_1\oplus \cdots R/I_k\oplus E$$ $$A\simeq \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}^{\oplus m}$$ $$A=Q\cdot\mathrm{diag}(d_1,d_2,\cdots)\cdot P$$

12. 模 - 习题选做

2. 说明 $\mathbb{Q}$ 作为 $\mathbb{Z}$-模无法分解为两个非零子模的直和。

5.

6. 设 $M,M',M''$ 为主理想环 $R$ 上的有限生成模。证明：(i)：若 $M\oplus M'\simeq M\oplus M''$ 则 $M'\simeq M''$。(ii)：若存在 $n\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ 使得 $M^{\oplus n}\simeq (M')^{\oplus n}$ 则 $M\simeq M'$ 。

7. 分类所有阶为 $100000$ 的交换群；共有 $49$ 个等价类。

10. 设 $R$ 为交换环而 $M$ 为秩 $n$ 自由 $R$-模，$n\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ 。证明若元素 $x_1,\cdots,x_n\in M$ 生成 $M$，则它们是 $M$ 的基。

13. 标准型 - 讲义回顾

• 矩阵版本问题：记共轭关系为 $A\sim B$ 。问题在于研究商集 $\mathrm{M}_{n\times n}(F)/\sim$ 。
• 线性映射版本问题：考虑形如 $(V,T)$ 的资料。若存在前文的 $\varphi$ 即构成 $(V,T),(V',T')$ 的等价。
• 模论版本问题：在同构意义下分类所有 $n$ 维 $F[X]$-模。

$$C_f=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&-c_0\\1&0&\cdots&0&-c_1\\0&1&\cdots&0&-c_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots\\0&0&\cdots&1&-c_{n-1}\end{pmatrix}$$ $$\begin{aligned} \varphi:&F[x]^{\oplus n}\rightarrow V\\ &\sum_{i=1}^{n}r_ie_i\mapsto \sum_{i=1}^{n}r_i(T)\cdot v_i \end{aligned}$$ $$x_j:=Xe_j-\sum_{i=1}^{n}a_{ij}e_i,\quad 1\leq j\leq n$$ $$V\simeq F[X]^{\oplus n}/N\simeq \bigoplus_{i=1}^{n}F[X]/(d_i)$$

13. 标准型 - 习题选做

3. 说明 $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)$ 总和它的转置 $^tA$ 共轭。依次说明当 $T\in\mathrm{End}(V)$ 选定，无论在 Jordan 标准型中采用上三角 / 下三角块，给出的资料是相同的。

7. 具体对所有 $d,k\geq 1$ 计算 $J_d(0)^k$，确定它的秩并写下 Jordan 标准型。

8. 设 $k\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$ 在域 $F$ 中的像非零，而 $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)$ 的特征值全为 $1$ 。证明 $A^k$ 与 $A$ 共轭。

9. 设 $F$ 为满足 $\mathrm{Char}(F)\not=2$ 的域，$\lambda\in F^\times$ 在 $F$ 中有平方根。证明 $J_n(\lambda)$ 在 $\mathrm{M}_{n\times n}(F)$ 中有平方根。由此证明任意可逆之 $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{C})$ 都有平方根。另一方面，举例说明不可逆的 $A$ 未必有平方根。

10. 设 $\lambda$ 是域 $F$ 的非零元，求 $J_d(\lambda)^2$ 的 Jordan 标准型。

11. 证明复矩阵指数映射：

$$\exp:\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{C})\rightarrow \mathrm{GL}(n,\mathbb{C}),\quad \exp(A)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}$$

对所有 $n$ 皆满。

15. 张量积 - 讲义回顾

$$(v+v',w)-(v,w)-(v',w),\quad(v,w+w')-(v,w)-(v,w')\\ (tv,w)-t(v,w),\quad(v,tw)-t(v,w)$$ $$\begin{aligned} &F\otimes V\xrightarrow{\sim}V\xleftarrow{\sim}V\otimes F\\ &t\otimes v\mapsto tv\\ \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} c(V,W):&V\otimes W\xrightarrow{\sim} W\otimes V\\ &v\otimes w\mapsto w\otimes v \end{aligned}$$ $$(f\otimes g)(v_i\otimes w_j)=\left(\sum_{k=1}^{n'}a_{ki}v'_k\right)\otimes \left(\sum_{l=1}^{m'}b_{lj}w'_l\right)$$ $$A\otimes B:=\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n'1}B&\cdots&a_{n'n}B\end{pmatrix}$$ $$V^{\vee}\otimes W\xrightarrow{\Theta_{V,W}}\mathrm{Hom}(V,W)\\ \lambda\otimes w\mapsto [v\mapsto \langle\lambda,v\rangle w]$$ $$\begin{aligned} I_{\mathrm{Sym}}&:=形如 x\otimes y-y\otimes x的元素生成的理想,\\ I_{\wedge}&:=形如x\otimes x的元素生成的理想 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \{C\in\mathrm{Mul}(V,\cdots,V;M):\ 对称\}&\simeq \mathrm{Hom}(\mathrm{Sym}^m(V),M)\\ \{C\in\mathrm{Mul}(V,\cdots,V;M):\ 交错\}&\simeq \mathrm{Hom}(\bigwedge{}^m(V),M)\\ \end{aligned}$$

15. 张量积 - 习题选做

1. 设 $X$ 和 $Y$ 为集合，$F$ 为域。所有映射 $f:X\rightarrow F$ 构成 $F$-向量空间 $C(X)$；同理有 $C(Y)$ 。

(i)：对于所有 $f\in C(X)$ 和 $g\in C(Y)$ ，有 $C(X\times Y)$ 的元素 $(x,y)\mapsto f(x)g(y)$ 。证明这给出双线性映射 $C(X)\times C(Y)\rightarrow C(X\times Y)$ 。从而按张量积的泛性质确定线性映射 $\tau: C(X)\otimes C(Y)\rightarrow C(X\times Y)$ 。 (ii)：证明 $\tau$ 是单射。 (iii)：证明 $\tau$ 是满射当且仅当 $X$ 和 $Y$ 其中之一是有限集。 (iv)：具体写下一个连续函数 $h:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，使得 $h$ 无法表如 $(x,y)\mapsto \sum_{i=1}^{m}f_i(x)g_i(y)$ 之形，其中 $f_i,g_i$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续函数。

3. 试证张量积保余核。更精确地说，设 $f:V\rightarrow V'$ 为线性映射，证明对所有 $F$-向量空间 $W$ 皆有同构：

$$\mathrm{coker}(f)\otimes W\xrightarrow{\sim}\mathrm{coker}(f\otimes \mathrm{id}_{W})\\ (v'+\mathrm{im}(f))\otimes w\mapsto v'\otimes w+\mathrm{im}(f\otimes \mathrm{id}_W)$$

4. 说明张量积保商。更精确地说，设 $V_0$ 为 $V$ 的子空间，则有同构：

$$(V/V_0)\otimes W\xrightarrow{\sim}(V\otimes W)/(V_0\otimes W)\\ (v+V_0)\otimes w\mapsto v\otimes w+(V_0\otimes W)$$

5. 说明张量积保核。更精确地说，设 $f:V\rightarrow V'$ 为线性映射，则 $\ker(f)\otimes W\xrightarrow{\sim}\ker(f\otimes \mathrm{id}_W)$，映法写作 $v\otimes w\mapsto v\otimes w$ 。

6. 设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间，维数都大于 $1$ 。说明：

$$\{v\otimes w:v\in V,w\in W\}\not=V\otimes W$$

7. 设 $A\in\mathrm{M}_{p\times p}(F)$ 而 $B\in\mathrm{M}_{q\times q}(F)$ 。试证 $\det(A\otimes B)=(\det A)^q(\det B)^p$ 。

8. 设 $A$ 为域 $F$ 上的有限维代数。对 $a\in A$ 和 $f=\sum_{n}c_nX^n\in F[X]$ 定义 $f(a):=\sum_{n}c_na^n\in A$ 。以下要求 $A$ 作为 $F$-向量空间是有限维的。

(i)：说明对每个 $a\in A$ 都存在 $f\in F[x]\setminus \{0\}$ 使得 $f(a)=0$。 (ii)：仿照线性映射的情形，应用 (i) 对 $a\in A$ 定义其极小多项式。 (iii)：说明 $a$ 可逆当且仅当它有左逆，当且仅当它有右逆。而且此时存在 $f\in F[X]$ 使得 $a^{-1}=f(a)$ 。

15. 将 $A\in\mathrm{M}_{m\times n}(F)$ 视同线性映射 $F^n\rightarrow F^m$，试以子行列式对所有 $k\leq \min\{m,n\}$ 描述 $\bigwedge^k A:\bigwedge^k (F^n)\rightarrow \bigwedge^k(F^m)$ 。

19. 设 $V$ 是域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间，$T\in\mathrm{End}(V)$ 。证明：

$$\det(\lambda\cdot \mathrm{id}-T)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\mathrm{Tr}(\bigwedge{}^k T)\lambda^{n-k}$$

此处规定 $\bigwedge{}^0(V)=F$ 而 $\bigwedge{}^0T=\mathrm{id}_F$ 。

20. 选定 $\omega\in\bigwedge^p(V)\setminus\{0\}$，其中 $1\leq p\leq n:=\dim V$ 。定义 $\mathrm{ann}(\omega):=\{v\in V:\omega\wedge v=0\}$ 。若存在 $v_1,\cdots,v_p\in V$ 使得 $\omega=v_1\wedge \cdots\wedge v_p$ 则称 $\omega$ 可分解 。

(i)：说明 $\mathrm{ann}(\omega)$ 是 $V$ 的子空间。设 $x_1,\cdots,x_p\in V$ 线性无关，证明 $\mathrm{ann}(x_1\wedge\cdots\wedge x_p)=\langle x_1,\cdots, x_p\rangle$ 。 (ii)：证明若 $\mathrm{ann}(\omega)$ 有基 $v_1,\cdots,v_r$，则 $r\leq p$ 而且存在 $\eta\in\bigwedge{}^{p-r}(V)$ 使得 $\omega=v_1\wedge \cdots\wedge v_r\wedge \eta$ 。 (iii)：承上题，说明 $r=p$ 当且仅当 $\omega$ 可分解。

21. 承上题，证明所有 $\omega\in \bigwedge{}^{n-1}(V)\setminus\{0\}$ 都是可分解的。

22. 设 $U$ 和 $W$ 为 $V$ 的 $p$ 维子空间，$U$ 有基 $x_1,\cdots,x_p$ 而 $W$ 有基 $y_1,\cdots,y_p$ 。证明 $U=W$ 当且仅当 $x_1\wedge \cdots\wedge x_p$ 和 $y_1\wedge \cdots \wedge y_p$ 成比例。

24. 默认 $\mathrm{Char}(F)\not=2$ 。设 $\dim V\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$ 而 $\omega\in \bigwedge^2(V)\setminus\{0\}$ 。证明 $\omega$ 可分解当且仅当 $\omega\wedge \omega=0$ 。