关于猫的一些性质

如果通过了审核管理可以考虑把分区改成休闲娱乐（

设 $\beta=(C,\times)$。

这里讨论一下猫的运算表的性质。

（性质 A）由左右消去律可得，运算表的每一行每一列都是一个 $C$ 的排列。

（性质 B）然后由于左右逆元是相等的，所以我们还要求 $e$ 在运算表中出现的位置关于左上-右下对角线对称。

因此大小为 $2$ 的猫只有一种：

而这显然是哈基猫（原文注1.2，即满足结合律的猫）。

对于大小为 $3$ 的猫也只有这一种：

这显然也是哈基猫。

什么，你问为什么 $e$ 的分布不能是这样的：

观察 $a$ 那行，这样就会得到 $a \times b = b$，显然不行。

我们来考虑大小为 $4$ 的猫。

先考虑这种 $e$ 分布方式。

根据性质 A 观察 $a$ 行可得 $a \times b \neq e$，$a \times b \neq a$，观察 $b$ 列可得 $a \times b \neq b$，即得 $a \times b = c$。

然后这个运算是异或，所以这是哈基猫。

还有两种 $e$ 的分布方式：

也可根据性质 A 唯一填出：

这分别是模 $4$ 加法和 $C=\lbrace 1,-1,i,-i \rbrace$ 与乘法，所以这两个也是哈基猫。

综上，所有大小 $\leq 4$ 的猫都是哈基猫。