2025 年全国小学生统一考试 数学

• 出题人：Rainraf UwU
• 审题人：幾鿔彝 cjy112589
• 考试时间：$100$ 分钟
• 满分：$100$ 分

参考资料：

1. 题目中的部分字母代表数字，例如 $a+b$(以下字母用 $a$ 表示)，当 $a=1,b=2$ 时，$a+b=1+2$
2. 除非题目说明，否则 $a$ 均为实数 (我们现阶段所学的数)

注意事项:

1. 如果监考老师在盯着你的试卷看，请不要给予理会
2. 如果监考老师看你试卷后摇头叹息，请无视规则一
3. 看不懂题目是正常现象, 请不要有太大的情绪波动
4. 小明是真实存在的
5. 请遵守以上规则否则你会成为小明，且无人帮你。

一.(共 18 分) 填空题

1. 我们知道 $1 + 2 = 3,1 + 2 + 3 = 6,1 + 2 + 3 + 4 = 10$...。当我们继续往后写时，式子会变得非常长，一点都不美观，所以我们定义 $\sum_{i = 1}^{n}i$ 表示从 1 加到 $n$($n$ 为正整数) 则 $\sum_{i = 1}^{10}i=$____
2. 我们学过一些素数、整除、最大公因数之类的概念，定义 $\text{gcd}(a,b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公因数 ($a,b$ 为整数)，$a\bmod b$ 表示 $a$ 除以 $b$ 后的余数 则 $\text{gcd}(\text{gcd}(45,15)\bmod 5,10) =$____
3. 定义新运算 $\begin{vmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{vmatrix}=a_1a_4 - a_2a_3$，若 $\begin{vmatrix}x&5\\3&2\end{vmatrix}\geq0$，则 $x$ 的最小值为____
4. 定义新运算 $n!=1\times2\times3\times\cdots\times n$，则 $10!=$____
5. 0 是最小的数吗，其实不然，我们称比 0 小的数叫负数，例如 $-1 > -2$，$a - b = a + (-b)$，定义新运算 $\vert -a\vert = a (a > 0)$，则 $1 + (-5) - 6 + \vert -3\vert =$____
6. 我们学过 $2^2 = 2\times2$，如果 $x^2 = 2$，那么 $x$ 的值应为多少？这里我们定义若 $x^2 = b (b\geq0)$，则 $x = \pm\sqrt{b}$，且 $\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}=\sqrt{ab}(a\geq0)$，$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$，则 $\sqrt{50}=$____
7. 定义 $a\cdot a\cdot\cdots\cdot a$ ($n$ 个 $a$) = $a^n$，定义新运算 $\log_a a^n = n (a > 0,a\neq1)$，$\log_{10}a = \log_{10}a$，$\log_e a = \log_e e$ ($e = 2.71\cdots$)，其中 $\log$ 表示运算符，则 $\log_2 8 + \log_e e^5 + \log_{10} 100 =$____
8. 定义正弦函数为 $\sin x$，其特殊函数值为 $\sin 0 = 0$，$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\frac{\pi}{2}=1$，则 $\sin\frac{\pi}{6}\sum_{i = 0}^{3}i=$____
9. 定义若 $\text{gcd}(m,n)=1$ ($m,n$ 为正整数)，则称 $m$ 和 $n$ 互质，定义欧拉函数为 “$\varphi(m)$”，表示小于 $m$ 且与 $m$ 互质的整数个数，例如 $\varphi(6)=2$，则 $3^{\varphi(10)}=$____

二.(共 24 分) 计算题

10. $(\sqrt{10}\cdot\sqrt{2})^2-\log_{10}1000+(\text{gcd}(100,40)\bmod 2)$
11. 设 $a = 12$，$b = 18$，$c = 5$，$d = 7$，$n = 10$。计算以下表达式的值： $\text{gcd}(a,b)+(a\bmod b)+\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+n!+\log_{10}n+\sin(\frac{\pi c}{n})+\varphi(n)$

三.(共 8 分) 选择题

12. 有一种 “交替数列”，它的奇数项都是 $2$，偶数项都是前一个奇数项的 $2$ 倍。则这个数列的第 $6$ 项为 ( )
    A. $\ 4\ \ \$ B. $\ 6\ \ \$ C. $\ 8\ \ \$ D. $\ 10$
13. 定义一元二次方程的一般形式为 $ax^{2}+bx + c = 0$ 其中 $a,b,c$ 为实数 (目前我们所学的数都为实数)，则此方程的解为 ( )
    A. $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}+4ac}}{2a}$ B. $\frac{a\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ C. $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}$ D. $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
14. 在直角三角形中，设两条直角边分别为 $a$、$b$，斜边为 $c$。则这三条边的关系为 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，我们称之为” 勾股定理”，设直角三角形其中一个锐角为 $\theta$，$\theta$ 角对应的对边为 $a$，邻边为 $b$，斜边为 $c$，定义 $\sin\theta=\frac{a}{c}$，$\cos\theta=\frac{b}{c}$，则 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta =$( )
    A. $\ 2\ \ \$ B. $\ 1\ \ \$ C. $\ 4\ \ \$ D. $\ 3 \ \ \$
15. 我们知道 “姜萍第一恒等式” 是 $主 =6$，什么？你说你不知道？不知道的罚抄试卷 $100$ 遍。除此之外还有姜萍第二恒等式 $a^b = ab$，姜萍第三恒等式 $\sum^{\infty}=\frac{\infty}{2}$，则下列选项正确的是 ( )
    A. $\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$
    B. $\sum^{\infty}\cdot\frac{1}{\infty}=\frac{1}{2}$
    C. $主 \bmod 2 = 3$
    D. 姜萍恒等式是错的

四.(共 50 分) 应用题

16. (5 分) 小明到街上去买菜，买了一斤青菜和一个袋子，青菜 $10$ 元一斤，袋子 $0.5$ 元，老板问小明：你购买的总价 $y$ (单位：元) 与购买的青菜的质量 $x$ (单位：千克) 之间的函数关系是什么？小明听得一脸懵逼，表示自己没学过，于是老板向小明解释了函数的概念：” 用数学符号表示，函数通常写作 $y = f(x)$。这里的 $x$ 是你放进机器的数（输入），$y$ 是机器吐出来的数（输出），$f$ 是机器的处理规则（函数）。” 小明表示听不懂，老板很是生气，说：“如果回答不出这个问题就不卖你菜了”，小明急得大哭，因为如果买不到菜妈妈会打他的，你能帮小明回答这个问题吗？
17. (5 分) 小明骑车回家撞到了一个人，那个人张口就要小明赔他 $100000$ 元，小明急得大哭，因为妈妈知道这件事会打断他的腿，那个人说想不赔钱也行，那你要回答我这个问题，小明接过纸条看，上面写着 $f(x)=\frac{x^5\sin x - e^x\cos x+\ln x}{x^3}$ 求 $f^\prime(x)$，小明一眼就认出了 $f(x)$ 是今天上午买菜时学的函数，但他不知道 $f$ 上面的 $^\prime$ 是什么意思，于是那个人给了他一个公式表：$(u\pm v)^\prime = u^\prime\pm v^\prime$，$(uv)^\prime = uv^\prime + u^\prime v$，$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - v^\prime u}{v^2}$，$(\sin x)^\prime = \cos x$，$(\cos x)^\prime = -\sin x$，$(e^x)^\prime = e^x$，$(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$，$x^a = ax^{a - 1}$（$a$ 为实数），$(C)^\prime = 0$（$C$ 为实数），你能帮小明解决这个问题吗？
18. (20 分) 小红的哥哥正在备考 2025 全国高中数学联赛，有一天，小红无意间进入了哥哥的房间，看到一张纸上写着 “11.(本题满分 20 分) 设复数 $z$,$w$ 满足 $z + w = 2$，$S=\vert z^2 - 2w\vert+\vert w^2 - 2z\vert$ 的最小可能值。” 又看到哥哥手机上朋友说：“复数放 11 题不送分吗，先设 $a + bi$ 然后换元放缩构造一个一元函数就出来了。” 哥哥回了一句懂了，但是小红知道以哥哥的性格肯定只是不懂装懂，小红决定帮助哥哥解决这个问题，小红查阅了相关资料：“复数的一般形式：$z = a + bi$，$i^2 = -1$，$\vert z\vert=\sqrt{a^2 + b^2}$”，请你帮助小红解决这个问题吧。
19. (10 分) 小明暗恋小红很久了，有一天小明鼓起勇气向小红表白，小红说：“如果你做出这道题我就接受你的表白”，上面写着：“取整函数（也称为地板函数或下取整函数）是一个将实数映射到小于或等于该数的最大整数的函数。取整函数通常用符号 $\lfloor x\rfloor$ 表示，其中 $x$ 是一个实数。例如 $\lfloor 3.7\rfloor = 3$，$\lfloor -1.2\rfloor = -2$，$\lfloor 5\rfloor = 5$。向上取整函数（也称为天花板函数）用符号 $\lceil x\rceil$ 表示，它将实数 $x$ 映射到大于或等于 $x$ 的最小整数。证明：对于任何实数 $x$，有 $\lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor$” 小明懵了，以他的数学水平怎么可能会证明这个，你能帮助小明完成表白吗？
20. (10 分) 有一天，小绿写作业的时候看到一道找规律题 “$1$,$2$,$3$,$4$,$5$,____,$7$”，小绿想：这里只能填一个答案吗？带着疑问小绿找到了先辈，先辈说：“这里还可以填 114514，当这里填 114514 时，它就是著名的恶臭数列。” 小绿懵逼了，于是先辈告诉小绿拉格朗日插值法，让他自己好好想想。拉格朗日插值法是一种多项式插值方法，用于通过给定的一组点来构造一个多项式，该多项式在这些点上取给定的值。具体来说，给定 $n + 1$ 个点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)$ 其中 $x_i$ 互不相同，拉格朗日插值法可以构造一个 $n$ 次多项式 $P(x)$，使得 $P(x_i)=y_i$ 对于所有 $i = 0,1,\cdots,n$ 都成立。拉格朗日插值多项式 $P(x)$ 的表达式为：$p(x)=\sum_{i = 0}^{n}y_iL_i(x)$。其中 $L_i(x)$ 是拉格朗日基多项式，定义为：$L_i(x)=\prod_{0\leq j\leq n,j\neq i}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}$。每个 $L_i(x)$ 是一个 $n$ 次多项式。($\prod_{0\leq j\leq n}\frac{x - x_i}{x_i - x_j}=\prod_{j = 0}^{n}\frac{x - x_i}{x_i - x_j}=\frac{x - x_i}{x_i - x_0}\cdot\frac{x - x_i}{x_i - x_1}\cdots\frac{x - x_i}{x_i - x_n}$)

参考答案

1. $55$
2. $10$
3. $\frac{15}{2}$
4. $3628800$
5. $-7$
6. $5\sqrt{2}$
7. $10$
8. $3$
9. $81$
10. $17$
11. $3628818$
12. $A$
13. $D$
14. $B$
15. $B$
16. $y = 20x + 0.5$
17. $f^\prime(x)=\frac{(x^{3}+3)(5x^{4}\sin x + x^{5}\cos x - e^{x}\cos x + e^{x}\sin x+\frac{1}{x})-3x^{2}(x^{5}\sin x - e^{x}\cos x+\ln x)}{(x^{3}+3)^{2}}$
18. 解：