简单的三角恒等变换

方法一：利用特殊角和/差角公式化简

1. $\sin 15 \degree + \cos 15 \degree =$
   Sol 1.

   我们发现 $45 \degree$ 有非常好的性质，因为 $45 \degree$ 的 $\sin \cos$ 值相等，所以：

   \sin 15\degree + \cos 45 \degree &= \frac{\sin 15\degree \cos 45\degree + \cos 15\degree \sin 45\degree}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sin 60 \degree}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned}

   第一题只是热身。
2. 已知 $\Large{\frac{\cos 2 \alpha}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} = \frac{1}{2}}$，则 $\cos \alpha + \sin \alpha =$
   Sol 2.

   我们发现我们要求的答案跟上一题一样，可以用 $45 \degree$ 的特殊性质做，而且这样做跟答案的形式也跟加接近了。 $\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt{2} \sin (\alpha + \frac{\pi}{4})$ 然后我们观察题目的条件。 首先是 $\alpha$ 的系数不一样，因此可以猜测要用倍角公式化简。
   那么我们又注意到 $\frac{\pi}{2} + 2\alpha$ 这个东西可以直接化成 $\alpha$，所以就做完了。

   $$\begin{aligned} \cos 2\alpha &= \cos (2\alpha + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) \\ &= \sin(2\alpha + \frac{\pi}{2}) \\ &= 2\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) \end{aligned}$$

   所以条件可以简化为：

   $$2\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \\ \sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{4}$$

   答案就是：

   $$\\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt{2} \sin (\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$