题解：P3196 [HNOI2008] 神奇的国度

本题是一个典型的图论染色问题，需要深入分析K国特殊社交网络的图论特性，并理解给定代码中采用的MCS（最大势算法）结合贪心染色的高效解决方案。以下将从问题本质、算法原理、代码分析和实际应用四个维度展开详细解析。

一、问题本质与图论建模

1.1 问题重述与核心约束

K国的社交网络具有严格的数学结构：

‌允许三角关系‌：三人互相认识（形成完全图K₃）

‌禁止N边关系（N≥4）‌：禁止长度为4及以上的简单环，且环上除相邻边外无其他连接

这实际上定义了一个特殊的图类：不含诱导环（induced cycle）长度≥4的图，在图论中称为‌弦图‌（chordal graph）。弦图的定义是：图中任意长度≥4的环都包含弦（连接环上非相邻顶点的边）。

1.2 图染色问题的转化

题目要求：相互认识的人不能在同一队 → 在图的术语中，就是相邻顶点必须染不同颜色。

这正是一个标准的‌图着色问题‌：用最少的颜色给图着色，使得相邻顶点颜色不同。最少颜色数称为图的‌色数‌。

对于一般图，求色数是NP难问题。但本题的特殊性在于：K国的社交网络构成一个弦图！弦图具有完美的性质，使得可以在多项式时间内精确求出色数。

二、弦图理论与算法基础 2.1 弦图的特征性质弦图有几个等价定义和重要性质：

‌不含诱导环‌：所有长度≥4的环都有弦 ‌存在完美消除序列‌：存在顶点排序v₁,v₂,...,vₙ，使得每个vᵢ在其后续顶点中形成一个团 ‌色数等于最大团大小‌：这是弦图最优雅的性质之一 2.2 完美消除序列（PES）

完美消除序列是理解本题算法的关键。在一个顶点排序中，对于每个顶点vᵢ，vᵢ与其在后续顶点中的所有邻居构成一个完全子图（团）。

对于弦图，必定存在完美消除序列，且可以通过‌最大势算法（MCS）‌ 在线性时间内找到。三、代码算法深度解析

3.1 整体架构

给定代码采用经典的两阶段策略：

‌MCS阶段‌：寻找完美消除序列

‌贪心染色阶段‌：沿着逆序进行染色

3.2 完整代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<queue>
#define rg register
using namespace std;
inline int read(){
    rg int s=0,f=0;
    rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) f|=(ch=='-'),ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return f?-s:s;
}
int n,m,cnt=-1;
const int MAX=2000015;
int head[MAX];
bool vis[MAX],used[MAX];
int seq[MAX],label[MAX],color[MAX];
struct edge{
    int nxt;
    int to;
}e[MAX];
void add(int u,int v){
    e[++cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
typedef pair<int,int>p;
priority_queue<p>q;
void mcs(){
    for(rg int i=1;i<=n;++i) q.push(p(0,i));
    for(rg int i=n;i>=1;--i){
        while(vis[q.top().second]) q.pop();
        int u=q.top().second;
        q.pop();
        seq[i]=u;
        vis[u]=1;
        for(rg int i=head[u];~i;i=e[i].nxt){
            if(!vis[e[i].to]) q.push(p(++label[e[i].to],e[i].to));
        }
    }
}
int solve(){
    int res=0;
    for(rg int i=n;i>=1;--i){
        memset(used,0,sizeof(used));
        for(rg int j=head[seq[i]];~j;j=e[j].nxt){
            used[color[e[j].to]]=1;
        }
        for(color[seq[i]]=1;used[color[seq[i]]];++color[seq[i]]);
        res=max(res,color[seq[i]]);
    }
    return res;
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read(),m=read();
    for(rg int i=1;i<=m;++i){
        int u=read(),v=read();
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    mcs();
    printf("%d\n",solve());
    return 0;
}

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