一个很浪漫的真命题

对比起我其它的文章来说，这篇文章没有沉重的气氛，更像是真正的闲谈。

起因是我们数学作业中有这样一道题，简化后的版本是这样的：

用 $\mathcal P(A)$ 表示事件 $A$ 发生的概率， $\mathcal P(A\mid B)=\frac{\mathcal P(AB)}{\mathcal P(B)}$ 是条件概率的定义式，意味在 $B$ 发生的条件下 $A$ 发生的概率。

已知 $\mathcal P(B\mid A)>\mathcal P(B\mid \overline A)$ ，求证 $\mathcal P(A\mid B)>\mathcal P(A\mid \overline B)$ 。

这其实是相当反直觉的一件事情，以至于我一开始想找点反例去证伪它，因为我看到这个命题的第一瞬间就翻译成了：

倘若你偏爱一个人，你在她身边总是感受到比不在她身边更多的幸福，那么是否意味着这个过程是双向的？

很显然不是，所以我迅速觉得，将此处的幸福替换为所有人都接受的一个共识标准，这个命题仍然不成立。

我对“若

\mathcal P(B\mid A)>\mathcal P(B\mid \overline A)

，则

\mathcal P(B\mid A)>\mathcal P(B)>\mathcal P(B\mid \overline A)

”这个命题有很明显的直觉，但我对上面这个命题完全没有相应的直觉。

我们先从数学上等价推导一下上述命题：

\\\iff&\frac{\mathcal P(AB)}{\mathcal P(A)}>\frac{\mathcal P(\overline AB)}{\mathcal P(\overline A)} \\\iff&\frac{\mathcal P(AB)}{\mathcal P(A)}>\frac{\mathcal P(B)-\mathcal P(AB)}{\mathcal 1-P(A)} \\\iff&\mathcal P(AB)-\mathcal P(AB)\mathcal P(A)>\mathcal P(A)\mathcal P(B)-\mathcal P(AB)\mathcal P(A) \\\iff&\mathcal P(AB)>\mathcal P(A)\mathcal P(B) \end{aligned}$$ 很明显，原来的两个命题均能等价为最后一个命题，于是原来的两个命题等价。 理论摁着我的头说，只要“幸福”是普世认可的，那么你爱她时，她便总是爱你；你爱她的原因是她爱你，反之亦然，你们的相遇就是命中注定的情劫。 这句话的浪漫之处对我来说在于，在一个足够理想的社会中，人人心意相通价值观相通时，便不再会出现二分图匹配婚姻问题，不再会出现所爱之人却心在他乡的情景。 于现实中来说，只要你与对方身处相同的环境（外界对你们的偏爱相同），那么你对她好，她确实能真切感受到与你相处的不同，你献上的真心不会被当作糟粕，至少我们的感情瞬息间如朝露般美丽。 这或许也解释了为什么门当户对的感情总是更加顺风顺水吧。 这篇文章其实很魔怔，也没什么道理，但这个命题确实给我带来了小小触动，如果读者有一瞬觉得有道理，这篇文章的价值也就存在了。

一个很浪漫的真命题

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