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韦达定理

rren_gao_zu
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2025/12/02 23:53
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2025/12/02 23:53
3 个月前
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一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0(a≠0)
先求根，假设有2个不同实根x1,x2x_{1},x_{2}
x2−4x+3=0→x1=1,x2=3→x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3=0\to x_{1}=1,x_{2}=3\to x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
2x2−5x+2=0→x1=12,x2=2→2x2−5x+2=2(x−12)(x−2)2x^2-5x+2=0\to x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2\to2x^2-5x+2=2(x-\frac{1}{2})(x-2)
x2−4x−1→x1=2−5,x2=2+5→x2−4x=(x−2+5)(x−2−5)x^2-4x-1\to x_{1}=2-\sqrt{5},x_{2}=2+\sqrt{5}\to x^2-4x=(x-2+\sqrt{5})(x-2-\sqrt{5})
再在R上因式分解：ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)⟺ax2+bx+c=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\Longleftrightarrow ax^2+bx+c=ax^2-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}
故{b=−a(x1+x2)c=ax1x2⇒{x1+x2=−bax1x2=ca(韦达定理)故\begin{cases}b=-a(x_{1}+x_{2})\\c=ax_{1}x_{2}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\\x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\end{cases}(韦达定理)
一般的问题中，考虑的是实根，需要先验证△
推论：∣x1−x2∣=x12−2x1x2+x22=(x1+x2)2−4x1x2=(−ba)2−4ca=b2−4aca2=Δ∣a∣|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{x_{1}^2-2x_{1}x_{2}+x_{2}^2}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{(-\frac{b}{a})^2-4\frac{c}{a}}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

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