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浅谈偏导数

CChase12345
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@miotywvf
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2025/12/03 01:06
3 个月前
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2025/12/03 01:06
3 个月前
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这是一篇有关简单偏导数的内容。
啥？你问我为什么要学？不知道。
新初一学生自学，可能不太详细，求轻点喷，谢谢各位巨佬！

定义

无论如何，开篇必然是定义。他和导数的定义很类似。
对于一个二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y)，定义域 DD，点 (x0,y0)∈D(x_0,y_0) \in D。
对 xx 的偏导数：固定 y=y0y=y_0，函数 f(x,y0)f(x,y_0) 在 x0x_0 处的导数：
∂f∂x∣(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}
对 yy 的偏导数：固定 x=x0x=x_0，函数 f(x0,y)f(x_0,y) 在 y0y_0 处的导数：
∂f∂y∣(x0,y0)=lim⁡Δy→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δy\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}
推广：对于 nn 元函数 f(x1,x2,…,xn)f(x_1,x_2,\dots,x_n)，偏导数 ∂f∂xi\frac{\partial f}{\partial x_i} 为固定其它变量，对 xix_i 求导。

几何意义

对于二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y)：
  • ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x} 表示曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 与平面 y=y0y=y_0 的交线在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处切线的斜率。（沿 xx 方向）
  • ∂f∂y\frac{\partial f}{\partial y} 表示曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 与平面 x=x0x=x_0 的交线在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处切线的斜率。（沿 yy 方向）
（哎怎么越看越像一元函数求导啊

法则

首先，先简单讲一下偏导数的运算方法：
例如求 ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}，我们可以将 f(x,y)f(x,y) 中 yy 看作常数，进行求导。（哦这就是偏导啊）
那么到了运算法则了。
  • f(x,y)=cf(x,y)=c，即常函数，此时 ∂f∂x=∂f∂y=0\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0。
  • f(x,y)=xnymf(x,y)=x^ny^m，则 ∂f∂x=nxn−1ym,∂f∂y=mxnym−1\frac{\partial f}{\partial x}=nx^{n-1}y^m,\frac{\partial f}{\partial y}=mx^ny^{m-1}。
欸怎么和求导一样啊。
然后一些奇怪运算法则也需要给出来。
  • f(x,y)±g(x,y)f(x,y) \pm g(x,y)：∂∂x(f±g)=∂f∂x±∂f∂x\frac{\partial}{\partial x}(f \pm g)=\frac{\partial f}{\partial x} \pm \frac{\partial f}{\partial x}。这很显然。然后如果是对 yy 偏导，同样显然，自己看。
  • f(x,y)=u(x,y)⋅v(x,y)f(x,y)=u(x,y) \cdot v(x,y)，此时 ∂f∂x=∂u∂x⋅v+∂v∂x⋅u\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot v+\frac{\partial v}{\partial x} \cdot u。也很显然，想要证明就回归定义。
  • f(x,y)=u(x,y)v(x,y)f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}，此时 ∂f∂x=∂u∂x⋅v−u⋅∂v∂xv2\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x} \cdot v-u \cdot \frac{\partial v}{\partial x}}{v^2}。呃呃字有点小是吗？我没办法啊。/ll
然后很重要的一个（真的很重要啊要记一记啊 qwq）
设 z=f(x,y)z=f(x,y)，并且 x,yx,y 又是两个变量 u,vu,v 的函数，即 x=x(u,v)x=x(u,v) 和 y=y(u,v)y=y(u,v)，则 zz 关于 u,vu,v 的偏导可以通过以下链式法则算：
  • zz 关于 uu 的偏导：
    ∂z∂u=∂z∂x⋅∂x∂u+∂z∂y⋅∂y∂u\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}
  • zz 关于 vv 的偏导：
    ∂z∂v=∂z∂x⋅∂x∂v+∂z∂y⋅∂y∂v\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v}
推广呢？哦 nn 元函数啊。
设 z=f(x1,x2,…,xn)z=f(x_1,x_2,\dots,x_n)，且每个 xix_i 依赖于 u,vu,v，则：
∂z∂u=∑i=1n∂z∂xi⋅∂xi∂u\frac{\partial z}{\partial u}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial z}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial x_i}{\partial u}
真好。

神奇的东西

呃呃还有一些奇怪的函数也可以求偏导。这里列举出来：
以下均为二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y)。

三角

普通

  • ∂∂xsin⁡(z)=cos⁡(z)∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} \sin(z)=\cos(z) \frac{\partial z}{\partial x}
  • ∂∂xcos⁡(z)=−sin⁡z∂z∂x\frac{\partial}{\partial x}\cos(z)=-\sin z \frac{\partial z}{\partial x}。
  • ∂∂xtan⁡(u)=sec⁡2(z)∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} \tan(u)=\sec^2(z) \frac{\partial z}{\partial x}。
其它三个可以自己乱搞的。

反三角

  • ∂∂xarcsin⁡(z)=11−z2∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} \arcsin(z)=\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \frac{\partial z}{\partial x}。
  • ∂∂xarccos⁡(z)=−11−z2∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} \arccos(z)=-\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \frac{\partial z}{\partial x}。
  • ∂∂xarctan⁡(z)=11+z2∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} \arctan(z)=\frac{1}{1+z^2} \frac{\partial z}{\partial x}。

双曲

  • ∂∂xsinh⁡(z)=cosh⁡(z)∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} \sinh(z)=\cosh(z) \frac{\partial z}{\partial x}。
  • ∂∂xcosh⁡(z)=sinh⁡(z)∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} \cosh(z)=\sinh(z) \frac{\partial z}{\partial x}。
  • ∂∂xtanh⁡(z)=sech⁡2(z)∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} \tanh(z)=\operatorname{sech}^2(z) \frac{\partial z}{\partial x}。

指数

由 az=ezln⁡aa^z=e^{z\ln a}，容易得到：
∂∂xaz=azln⁡a∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} a^z=a^z\ln a\frac{\partial z}{\partial x}
特别地，
∂∂xez=ez∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} e^z=e^z\frac{\partial z}{\partial x}

对数

可以通过换底公式，并结合一个神奇的公式：
∂∂xln⁡z=1z∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} \ln z=\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x}
得到：
∂∂xlog⁡az=1zln⁡a∂z∂x\frac{\partial}{\partial x} \log_a z=\frac{1}{z \ln a} \frac{\partial z}{\partial x}

极值问题

对于极值的定义，这里不再讲。因为这和一元函数中的极值的定义是几乎一样的。

极值的必要条件

若函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处可微且取到极值，则：
∂z∂x∣(x0,y0)=0,∂z∂y∣(x0,y0)=0\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)} =0,\left.\frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)}=0
此时点 (x0,y0)(x_0,y_0) 被称为驻点。

极值的充分条件

设 (x0,y0)(x_0, y_0) 是驻点，且函数在该点有二阶连续偏导数，令：
A=∂2z∂x2∣(x0,y0),B=∂2z∂x∂y∣(x0,y0),C=∂2z∂y2∣(x0,y0)A = \left. \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \right|_{(x_0,y_0)}, B = \left. \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right|_{(x_0,y_0)}, C = \left. \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \right|_{(x_0,y_0)}
判别式 D=AC−B2D = AC - B^2：
  • 若 D>0D > 0 且 A>0A > 0，则 f(x0,y0)f(x_0, y_0) 为极小值。
  • 若 D>0D > 0 且 A<0A < 0，则 f(x0,y0)f(x_0, y_0) 为极大值。
  • 若 D<0D < 0，则 (x0,y0)(x_0, y_0) 不是极值点（称为鞍点）。
  • 若 D=0D = 0，无法确定。

求法

先求一阶偏导，然后解方程：
{∂f∂x=0∂f∂y=0\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\\frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}
得到驻点，然后求二阶偏导，并用判别式，就可以了。

条件极值

即 g(x,y)=0g(x,y)=0，求 f(x,y)f(x,y) 极值。
只能拉格朗日乘数。
拉格朗日函数：
L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)
之后，求偏导解方程组：
{∂L∂x=∂f∂x+λ∂g∂x=0∂L∂y=∂f∂y+λ∂g∂y=0∂L∂λ=g(x,y)=0\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x} = \dfrac{\partial f}{\partial x} + \lambda \dfrac{\partial g}{\partial x} = 0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial y} = \dfrac{\partial f}{\partial y} + \lambda \dfrac{\partial g}{\partial y} = 0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = g(x,y) = 0 \end{cases}
解的 (x,y)(x,y) 即为可能的极值点。

拉乘扩展到多元极值

对于多元极值同理。
求 f(x1,x2,⋯ ,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n) 的极值。
对于一个方程组：
{f1(x1,x2,⋯ ,xn)=0f2(x1,x2,⋯ ,xn)=0⋮fm(x1,x2,⋯ ,xn)=0\begin{cases} f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0\\ f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0\\ \vdots\\ f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0 \end{cases}
我们可以构造拉格朗日函数：
L(x1,x2,⋯ ,xn,λ1,λ2,⋯ ,λm)=f(x1,x2,⋯ ,xn)−λ1f1(x1,x2,⋯ ,xn)−⋯−λmfm(x1,x2,⋯ ,xn)L(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)= f(x_1,x_2,\cdots,x_n)-\lambda_1f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n) -\cdots-\lambda_mf_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)
解：
{∂L∂x1=0∂L∂x2=0⋮∂L∂xn=0∂L∂λ1=0⋮∂L∂λm=0\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x_1}=0\\ \dfrac{\partial L}{\partial x_2}=0\\ \vdots\\ \dfrac{\partial L}{\partial x_n}=0\\ \dfrac{\partial L}{\partial \lambda_1}=0\\ \vdots\\ \dfrac{\partial L}{\partial \lambda_m}=0 \end{cases}
这个方程，得到所有可能的极值，一个一个验就行了。

例题

一

求 f(x,y)=x3+y3−3xyf(x,y)=x^3+y^3-3xy 的极值。
一阶偏导：fx=3x2−3yf_x=3x^2-3y，fy=3y2−3xf_y=3y^2-3x。
驻点方程得：(0,0)(0,0) 和 (1,1)(1,1)，自行验算，(0,0)(0,0) 鞍点，(1,1)(1,1) 极小值点。

二

f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2，x+y=1x+y=1。
不放过程了。答案：(12,12)(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})。按照上面推就行了。

总结

偏导数是一个很神奇的东西，二元函数无法求导，就变成了偏导。偏导可以用来求极值问题或者一些奇怪的东西。

Update

突然发现漏了拉乘的多元情况。

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