deep seek生成的和差化积训练

• $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
• $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
• $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
• $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

习题列表

1. 求 $\sin x + \sin(60^\circ - x)$ 的最大值和最小值。
2. 求 $\cos x + \cos(120^\circ + x)$ 的最大值和最小值。
3. 求 $\sin x + \sin(x + 60^\circ)$ 的最大值和最小值。
4. 求 $\cos x - \cos(x + 90^\circ)$ 的最大值和最小值。
5. 求 $\sin x + \sin(60^\circ + x) + \sin(120^\circ + x)$ 的最大值和最小值。
6. 求 $\sin x - \cos x$ 的最大值和最小值。
7. 设 $x$ 和 $y$ 满足 $x + y = 90^\circ$ 且 $x \geq 0$ , $y \geq 0$ ，求 $\sin x + \sin y$ 的最大值和最小值。

说明

• 在化简过程中，必须使用和差化积公式。
• 求最值时，需考虑三角函数的取值范围（如 $|\sin \theta| \leq 1$ , $|\cos \theta| \leq 1$ ）。
• 所有角度单位为度。
• 习题 7 中， $x$ 和 $y$ 在闭区间 $[0^\circ, 90^\circ]$ 内取值。

提升习题（含升降次、二级结论与三角换元）

1. 升降次+和差化积
   求 $\sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin x \cos x$ 的最大值与最小值。
   提示：先降次处理 $\sin^4 x + \cos^4 x$ ，再结合二倍角化简。
2. 二级结论应用
   设 $\alpha + \beta = 60^\circ$ ，求 $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \alpha \sin \beta$ 的最小值。
   提示：利用和差化积与 $\sin\alpha\sin\beta$ 的积化和差，结合固定和角下的经典结论。
3. 三角换元求代数最值
   已知实数 $x, y$ 满足 $x^2 + y^2 = 1$ ，求 $x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}$ 的最大值。
   提示：设 $x = \cos \theta, y = \sin \theta$ ，转化为三角函数问题，再用和差化积化简。
4. 升降次+辅助角
   求 $\sin^2 x \cos^2 x + \sin x \cos x + \frac{1}{4}$ 的值域。
   提示：先降次 $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x$ ，再换元 $t = \sin 2x$ 结合二次函数求解。
5. 和差化积+对称性
   求 $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ 的值。
   提示：连乘形式先配对使用积化和差（或正弦二倍角逆用），构造连锁化简。
6. 综合换元与最值
   求函数 $f(x) = \frac{\sin x + \sin(60^\circ - x)}{\cos x + \cos(60^\circ - x)}$ 的最小值。
   提示：分子分母分别和差化积后化简，得到 $\tan$ 的线性表达式，结合角度范围求最值。

解三角形综合习题（难度递进）

1. 基础对称轮换
   在 $\triangle ABC$ 中，求证：
   $$a(\cos B + \cos C) + b(\cos C + \cos A) + c(\cos A + \cos B) = a + b + c$$
2. 和差化积与余弦定理
   在 $\triangle ABC$ 中，若 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ ，判断三角形形状。
3. 升降次与恒等变形
   在 $\triangle ABC$ 中，求 $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$ 的值。
4. 三角换元与约束条件
   在 $\triangle ABC$ 中，设 $a, b, c$ 成等比数列，且 $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ ，求角 $A$ 的大小。
5. 和差化积与角度关系
   在 $\triangle ABC$ 中，若 $a^2 = b(b + c)$ ，求证：$\angle A = 2\angle B$ .
6. 二级结论与最值
   在 $\triangle ABC$ 中，求 $\cos A \cos B + \sin A \sin B \cos C$ 的最大值。
7. 对称轮换与正余弦定理
   在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$ ，求 $\cos A : \cos B : \cos C$ .
8. 等差数列与角度差
   在 $\triangle ABC$ 中，$a, b, c$ 成等差数列，且最大角与最小角之差为 $90^\circ$ ，求三边之比。
9. 和差化积与存在性问题
   在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin A + \sin B + \sin C = \cos A + \cos B + \cos C$ ，判断三角形形状或说明解的存在性。
10. 升降次与辅助角公式
    在 $\triangle ABC$ 中，求 $\sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin x \cos x$ 的最大值和最小值（$x$ 为任意角，需结合三角形性质）。
11. 三角换元与代数约束
    已知实数 $x, y$ 满足 $x^2 + y^2 = 1$ ，求 $x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}$ 的最大值（转化为三角形问题）。