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拉格朗日反演
y
yemuzhe
2025/11/26 15:17
算法·理论
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@min021t8
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2025/12/01 18:21
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2025/12/01 18:21
3 个月前
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不会证，但是记录一下公式：
以下记
G
(
x
)
G (x)
G
(
x
)
为
F
(
x
)
F (x)
F
(
x
)
的复合逆，即
G
(
F
(
x
)
)
=
1
G (F (x)) = 1
G
(
F
(
x
))
=
1
。
[
x
n
]
F
(
x
)
=
1
n
[
x
n
−
1
]
(
x
G
(
x
)
)
n
\displaystyle [x ^ n] F (x) = \frac 1 n [x ^ {n - 1}] \left(\frac x {G (x)}\right) ^ n
[
x
n
]
F
(
x
)
=
n
1
[
x
n
−
1
]
(
G
(
x
)
x
)
n
[
x
n
]
F
k
(
x
)
=
k
n
[
x
n
−
k
]
(
x
G
(
x
)
)
n
\displaystyle [x ^ n] F ^ k (x) = \frac k n [x ^ {n - k}] \left(\frac x {G (x)}\right) ^ n
[
x
n
]
F
k
(
x
)
=
n
k
[
x
n
−
k
]
(
G
(
x
)
x
)
n
[
x
n
]
H
(
F
(
x
)
)
=
1
n
[
x
n
−
1
]
H
′
(
x
)
(
x
G
(
x
)
)
n
\displaystyle [x ^ n] H (F (x)) = \frac 1 n [x ^ {n - 1}] H ^ \prime (x) \left(\frac x {G (x)}\right) ^ n
[
x
n
]
H
(
F
(
x
))
=
n
1
[
x
n
−
1
]
H
′
(
x
)
(
G
(
x
)
x
)
n
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