题出的好！难度适中，覆盖知识点广，题目有着切合实际的背景，解法比较自然。给出题人点赞 ！

题目出的非常好，他好就好在他哪里都好，如果能换道题出的话，那想必一定会更好。

注意到题目中比较复杂的限制是 $f(P)=f(Q)$，考虑对这一条限制直接拆位做，记 $f$ 表示一个 $n$ 位的原问题，由于 $f(P)=f(Q)$，则有 $f=g^{11}+g^{00}$。其中 $g^{ij}$ 表示一个 $n-1$ 位的问题，其中 $f(P)$ 在第 $n$ 位要求为 $i$，$f(Q)$ 在第 $n$ 位要求为 $j$。但你注意到要求为 $0$ 这一限制并不好达到。考虑容斥为要求为 $1$ 和无限制。也即 $g^{11}=h^{++},g^{00}=h^{--}-h^{+-}-h^{-+}+h^{++}$，也即 $f=h^{--}-h^{-+}-h^{+-}+2h^{++}$。

换而言之，$f=\sum\limits_{P,Q}w(P,Q)\times t(P,Q)$，其中 $w(P,Q)$ 表示容斥系数，每一位形如 $\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}$。而 $t(P,Q)$ 表示贡献式子，对于每一个 $S$，其可以在 $P$ 里当且仅当其为 $P$ 的超集，$Q$ 同理。故有 $t(P,Q)=f_P\times f_Q\times g_{P\cup Q}$，（由于下文中不再使用原来的 $f$ 和 $g$，我们重标号一下）其中 $f_S$ 表示 $S$ 超集的 $\prod(a_i+1)$，$g_S$ 表示 $\prod\dfrac{2a_i+1}{(a_i+1)^2}$。

我们在 $P\cup Q$ 处统计答案，对 $w(P,Q)$ 构造 FWT 矩阵 $\begin{bmatrix}1&0\\1&-2\end{bmatrix}$ 和 IFWT 矩阵 $\begin{bmatrix}1&0\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$。在特殊性质 B 下可以做到 $\Omicron(2^n\times n)$。

无特殊性质时需记录 $0$ 的次数，然而该多项式会有 $\Omicron(2^n)$ 次，复杂度退化到 $\Omicron(4^n\times n)$。根据某些经典模型，过程中多项式次数不降，而我们只需求最低次项系数，因此只需记录最低次项系数即可。时间复杂度 $\Omicron(2^n\times n)$。