题解：SP12400

前置知识

这道题可能涉及到以下内容。

题目分析

这道题的解题思路与数学几何题类似，我们只需要推导出关系式就很好解决了。

下面是一张参考图：

在图中，正方形

CFDE

的边长为

CF=EF=DE=DC

，Johnny 新扩展的圆半径为

NO

，需要修建的墙壁对应线段

AB

，而 Johnny 兄弟的圆半径为

O'M

。

计算步骤：

已知正方形边长，根据等腰直角三角形的性质，外接圆半径等于对角线长度的一半：

NO = \frac{\sqrt{2}}{2} \times EF

根据两点间距离公式可以得出两圆心距离：

|O'O| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}

接下来就可以判断两圆是否相交了。

如果两圆心距离大于两圆半径之和（ $d > r + R$ ），则两圆相离。
如果两圆心距离小于两圆半径之差的绝对值（ $d < |R - r|$ ），则两圆内含。

如果出现以上两种情况，代表两圆不相交，输出 No problem。

如果两圆相交，公共弦长度计算公式为：

AB = 2 \times \sqrt{r^2 - a^2}

其中弦心距

a

可通过余弦定理求得：

a = \frac{d^2 + r^2 - R^2}{2d}

代入后得到最终表达式：

AB = 2 \times \sqrt{r^2 - \left( \frac{d^2 + r^2 - R^2}{2d} \right)^2}

将上述数学推导转化为程序实现就可以完成这道题了。

参考程序

CPP

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define Rint register int
#define fast_running ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr)
using namespace std;

signed main() {
    fast_running;
    int T, cnt = 0;
    cin >> T;
    while (T--) {
        ++cnt;
        double x1, x2, y1, y2, l, r;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> r >> l;
        double R = (l * sqrt(2)) / 2.0; // 计算圆的半径：对角线长 / 2
        double d = sqrt((x1 - x2) * (x1 - x2) + (y1 - y2) * (y1 - y2)); // 计算两圆圆心距离
        if (d >= R + r || d + min(R, r) <= max(R, r)) { // 判断两圆是否相交：如果相离或内含，则无交点
            cout << cnt << ". No problem\n";
        } else {
            double part = (d * d + r * r - R * R) / (2 * d); // 计算弦心距 a = (d^2 + r^2 - R^2) / (2d)
            double ans = 2 * sqrt(r * r - part * part); // 弦长 = 2 * sqrt(r^2 - a^2)
            cout << cnt << ". " << fixed << setprecision(3) << ans << '\n';
        }
    }
    return 0;
}

AC 记录

文章操作