BW2024数学题

求

Solution：答案是D

考虑放缩夹逼。设原式为 $X$，即求 $\lim_{n\rightarrow\infin} X$，则

$L=\frac{\sqrt{1\cdot 1}}{n^2+n}+\frac{\sqrt{2\cdot 2}}{n^2+n}+\cdots+\frac{\sqrt{n\cdot n}}{n^2+n}<X$ $X<\frac{\sqrt{2\cdot 2}}{n^2+1}+\frac{\sqrt{3\cdot 3}}{n^2+1}+\cdots+\frac{\sqrt{(n+1)\cdot (n+1)}}{n^2+1}=R$

这是显然的，因为分母全部取最大值，分子取根号下两个因数的较小值。这样做可以使得通分后分子变为等差数列求和：

分子分母同时除以 $n^2$ 后取极限得到

知

因为 $L<X<R$ ，而两边的极限值都是 $\frac{1}{2}$，被夹在中间的 $X$ 的极限值自然也是 $\frac{1}{2}$ 了。答案是C。