题解：CF2133E I Yearned For The Mines

这是一篇使用 dp 的题解。笔者在赛时因为写的代码过于狗屎导致没能在赛时调出代码。

如果不进行 2 操作，那么能找到当且仅当是一条链，从链头查到链尾。所以现在需要用小于等于

\dfrac{n}{4}

次 2 操作使得树变成若干条链。

令

f_{x,0/1/2}

表示

x

不断且父亲不断，断，不断且父亲断的最小断点数量。

转移是容易的，

f_{x,1}

对于儿子可以任意方案，

f_{x,0}

最多一个儿子不断，

f_{x,2}

最多两个儿子不断。

代码难点在于输出方案。重新跑一次 DP 并同时记录当前点的方案为

0/1/2

，为

1

则递归每个儿子的最优方案，为

0

则优先递归不断的儿子，为

2

的话需要额外一个 dfs 找到不断的两个儿子对应的两条链。

难点在于实现：

CPP

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int Tim=1;
const int N=2e5+5;
const int inf=1e9;
int n;
vector<int> g[N];
int son[N],f[N][3];
vector<int> ans;
bool vis[N];
bool ok[N];
void init(int n){
	for(int i=0;i<=n;i++){
		g[i].clear();
		vis[i]=0;
		ok[i]=0;
	}
	ans.clear();
}
void dfs1(int x,int fa){
	son[x]=0;
	for(int y:g[x]){
		if(y==fa){
			continue;
		}
		son[x]++;
		dfs1(y,x);
	}
	if(!son[x]){
		f[x][0]=0;
		f[x][1]=1;
		f[x][2]=inf;
		return;
	}
	f[x][0]=0;
	f[x][1]=1;
	f[x][2]=inf;
	int minn1=inf,minn2=inf;
	for(int y:g[x]){
		if(y==fa){
			continue;
		}
		f[x][1]+=min(f[y][0],min(f[y][1],f[y][2]));
		f[x][0]+=f[y][1];
		if(f[y][0]-f[y][1]<=minn1){
			minn2=minn1;
			minn1=f[y][0]-f[y][1];
		}
		else if(f[y][0]-f[y][1]<=minn2){
			minn2=f[y][0]-f[y][1];
		}
	}
	if(son[x]>=2){
		f[x][2]=f[x][0];
		f[x][2]+=minn1+minn2;
	}
	if(minn1<=0){
		f[x][0]+=minn1;
	}
	// cerr<<x<<':'<<f[x][0]<<' '<<f[x][1]<<' '<<f[x][2]<<'\n';
}
vector<int> now;
void dfs3(int x,int fa){
	now.push_back(x);
	ok[x]=1;
	int minn1=inf,pos1=0;
	for(int y:g[x]){
		if(y==fa){
			continue;
		}
		if(f[y][0]-f[y][1]<=minn1){
			minn1=f[y][0]-f[y][1];
			pos1=y;
		}
	}
	if(pos1&&minn1<=0){
		dfs3(pos1,x);
	}
}
void dfs2(int x,int fa,int op){
	// cerr<<x<<' '<<fa<<' '<<op<<' '<<ok[x]<<'\n';
	if(ok[x]){
		int minn1=inf,pos1=0;
		for(int y:g[x]){
			if(y==fa){
				continue;
			}
			if(f[y][0]-f[y][1]<=minn1){
				minn1=f[y][0]-f[y][1];
				pos1=y;
			}
		}
		if(minn1<=0){
			dfs2(pos1,x,0);
			for(int y:g[x]){
				if(y==fa||y==pos1){
					continue;
				}
				dfs2(y,x,1);
			}			
		}
		else{
			for(int y:g[x]){
				if(y==fa){
					continue;
				}
				dfs2(y,x,1);
			}
		}
	}
	else if(op==0){
		ans.push_back(x);
		int minn1=inf,pos1=0;
		for(int y:g[x]){
			if(y==fa){
				continue;
			}
			if(f[y][0]-f[y][1]<=minn1){
				minn1=f[y][0]-f[y][1];
				pos1=y;
			}
		}
		if(son[x]){
			if(minn1<=0){
				dfs2(pos1,x,0);
				for(int y:g[x]){
					if(y==fa||y==pos1){
						continue;
					}
					dfs2(y,x,1);
				}					
			}
			else{
				for(int y:g[x]){
					if(y==fa){
						continue;
					}
					dfs2(y,x,1);
				}
			}
		}
	}
	else if(op==1){
		vis[x]=1;
		ans.push_back(x);
		for(int y:g[x]){
			if(y==fa){
				continue;
			}
			int mi=min(f[y][0],min(f[y][1],f[y][2]));
			if(f[y][0]==mi){
				dfs2(y,x,0);
			}
			else if(f[y][1]==mi){
				dfs2(y,x,1);
			}
			else{
				dfs2(y,x,2);
			}
		}
	}
	else if(op==2){
		int minn1=inf,pos1=0,minn2=inf,pos2=0;
		for(int y:g[x]){
			if(y==fa){
				continue;
			}
			if(f[y][0]-f[y][1]<=minn1){
				minn2=minn1;
				pos2=pos1;
				minn1=f[y][0]-f[y][1];
				pos1=y;
			}
			else if(f[y][0]-f[y][1]<=minn2){
				minn2=f[y][0]-f[y][1];
				pos2=y;
			}
		}
		now.clear();
		dfs3(pos1,x);
		reverse(now.begin(),now.end());
		for(int y:now){
			ans.push_back(y);
		}
		ans.push_back(x);
		now.clear();
		dfs3(pos2,x);
		for(int y:now){
			ans.push_back(y);
		}
		dfs2(pos1,x,0);
		dfs2(pos2,x,0);
		for(int y:g[x]){
			if(y==fa||y==pos1||y==pos2){
				continue;
			}
			dfs2(y,x,1);
		}
	}
}
void Solve(){
	cin>>n;
	init(n);
	for(int i=1,x,y;i<n;i++){
		cin>>x>>y;
		g[x].push_back(y);
		g[y].push_back(x);
	}
	dfs1(1,0);
	int mi=min(f[1][0],min(f[1][1],f[1][2]));
	// cerr<<"mi:"<<f[1][0]<<' '<<f[1][1]<<' '<<f[1][2]<<'\n';
	if(f[1][0]==mi){
		dfs2(1,0,0);
	}
	else if(f[1][1]==mi){
		dfs2(1,0,1);
	}
	else if(f[1][2]==mi){
		dfs2(1,0,2);
	} 
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i]){
			tot++;
		}
	}
	cout<<tot+n<<'\n';
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i]){
			cout<<2<<' '<<i<<'\n';
		}
	}
	for(int x:ans){
		cout<<1<<' '<<x<<'\n';
	}
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>Tim;
	while(Tim--){
		Solve();
	}	
	return 0;
}

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