MO 相关定理

数论

Betrand-Chebyshev 定理 - Erdős Pál 初等证明

$\small \forall n\geq 1,\exist$ 质数 $\small p~~s.t.~n<p\le 2n$

另外，这个定理最后导出的

\prod\limits_{n<p\le 2n,p\in\mathbb{P}}p\geq2^{\tfrac{1}{30}n}

实际上对质数密度有了一个很好的估计：

(n,2n]

之间的质数个数至少是

\log_{2n}(2^{\tfrac{1}{30}n})=\dfrac{1}{30}\cdot\dfrac{n}{\log_2{n}+1}

，事实上，可以对 Erdős 的放缩改进使得这个值更接近真实值，但是这个近似已经足够优秀了。

除此之外，Erdős Pál 对质数定理（即

\pi(n)\sim\dfrac{n}{\ln n}

）也作了初等证明但过程较为繁复。