对于计数题考虑找充要条件。考虑一个数字能填需要满足其前面还没有 $c$ 个数大于它，注意这个限制是后缀的，所以我们考虑值域的前缀。对于 1 我们只能放在 $[1,c]$，以此类推，我们能够得到 $i$ 能够放置的区间 $[1,c+\sum\limits_{j<i}\text{cnt}_j]$，其中 $\text{cnt}_j$ 是 $j$ 的数量。于是我们可以对其考虑 dp，设 $f_{i,j}$ 表示考虑到 $i$ 填了 $j$ 个数的方案数。转移考虑枚举 $i$ 放了多少个，设为 $k$，其上界是 $\min(j,c)$。此时我们能够知道 $i$ 填数范围是 $[1,c+j-k]$，首先我们需要判断这个上界是否合法，因为可能存在已经给出的 $i$ 的最右边不在区间内的情况。判断转移合法性之后就简单了，现在只需考虑填数的方案数即可。因为之前已经有 $j-k$ 个数，于是还剩下 $c$ 个空位，但是考虑到原来的序列本身还有一些数已经确定，于是还要减去这段前缀区间内 $\ge i$ 的数的个数，设为 $s$。考虑我们需要将 $k$ 个 $i$ 放进去，但是可能原来序列中也有一些 $i$ 了，其数量设为 $t$，那么我们的方案数就是 $c-s\choose k-t$。于是最后的 dp 式子就是：

时间复杂度 $\mathcal O(nmc)$。