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利用齐次坐标处理二次曲线
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- @mip4uicy
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- 2025/12/03 06:11 3 个月前
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- 2025/12/03 06:11 3 个月前
虽然这些部分OI没有要求是超纲的，但是了解下并非坏事，默认读者具有同济线代水平。
形如 的二次曲线的处理是显然的，左边是一个二次型，对系数矩阵
对角化即可确定二次曲线的类型。
这里我们考虑更一般的二次曲线的情况，左边并不是一个二次型，要怎么办呢？
这就需要引入齐次坐标：
x & y &1
\end{pmatrix}$$
把二次曲线写的更好看一些，让$d=\frac{d}{2},e=\frac{e}{2}$，二次曲线变成$ax^2+by^2+2cxy+2d\times 1\cdot x+2e\times 1\cdot y+1^2=2$，不难看出左边其实就是：
\begin{pmatrix}
x & y &1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & c &d\
c& b &e\
d&e & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \
y\
1
\end{pmatrix}
系数矩阵$A=\begin{pmatrix}
a & c &d\\
c& b &e\\
d&e & 1
\end{pmatrix}$是对称矩阵，一定有$A=QDQ^{T}$,其中$Q$为正交矩阵，$D$为对角阵。
做代换$\begin{pmatrix}
x' & y' &1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x & y &1
\end{pmatrix}Q$，注意这是一个正交变换，意味着椭圆保持为椭圆，双曲线保持为双曲线，抛物线保持为抛物线，圆保持为圆
左边有：
$$\begin{pmatrix}
x & y &1
\end{pmatrix}QDQ^T\begin{pmatrix}
x \\
y\\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x' & y' &1
\end{pmatrix}D\begin{pmatrix}
x' \\
y'\\
1
\end{pmatrix}=\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3$$
带回去就得到了：
$$\dfrac{\lambda_1}{2-\lambda_3}x'^2+\dfrac{\lambda_2}{2-\lambda_3}y'^2=1(\lambda_1,\lambda_2\ ,\lambda_3-2 \neq0)$$
若不满足条件$\lambda_1,\lambda_2\ ,\lambda_3-2 \neq0$，则称该二次曲线是**退化**的
若$\lambda_1,\lambda_2\ ,\lambda_3-2$全部为0：
这种情况是不存在的，因为此时方程会覆盖整个平面，违背了二次方程最多两个实数解的要求
若$\lambda_1,\lambda_2$有一个为0
这时该方程表示一条垂直于x轴或y轴的直线，由于$x',y'$均是$x,y$的一次函数，原方程$ax^2+by^2+2cxy+2dx+2ey=1$表示了一条直线（不一定垂直于坐标轴），比如$-x^2-y^2-2xy+2x+2y=1$
若$\lambda_1,\lambda_2$均不为0 ,$\lambda_3-2=0$：
该方程表示原点（$\lambda_1,\lambda_2$同号），或两条直线（$\lambda_1,\lambda_2$异号），原方程$ax^2+by^2+2cxy+2dx+2ey=1$对应表示了一个点或者两条直线，比如$-x^2-y^2+2y=1$表示一个点，$-x^2+2x+y^2=1$表示两条直线相关推荐
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