local

$Day\ 0$

$Day\ 1(13:30-17:30)$

1. 已知二次函数$f(x)=a(3a+2c)x^2-2b(2a+c)x+b^2+(c+a)^2$，$(a,b,c∈R)$，假设对于任意的$x∈R$都有$f(x)≤1$，求$|ab|$的最大值。
2. 如图，在△$ABC$中，$AB<AC$，$PB$和$PC$是△$ABC$外接圆$O$的切线，$R$是弧$AC$上的一个点，$PR$与圆$O$的另一个交点为$Q$。$I$是△$ABC$的内心，$ID$⊥$BC$于点$D$，$QD$与圆$O$的另一个交点为$G$。过点$I$且与$AI$垂直的直线与$AB,AC$分别相交于点$M,N$。证明：若$AR//BC$，则$A,G,M,N$四点共圆。

3. 设多项式$f(x)=x^{2020}+\sum\limits_{i=1}^{2019}c_ix^i$，其中$c_i∈\{-1,0,1\}$，记$N$为$f(x)=0$正整数根的个数（含重根），若$f(x)=0$无负整数根，求$N$的最大值。
4. 设$a_1,a_2,...,a_{17}$是$1,2,...,17$的一个排列，且满足$(a_1-a_2)(a_2-a_3)...(a_{16}-a_{17})(a_{17}-a_1)=n^{17}$。求正整数$n$的最大值。

$Day\ 2(8:00-12:00)$

1. 集合$I=\{1,2,...,2020\}$。称$W=\{w(a,b)=(a+b)+ab|a,b∈I\}∩I$为“吴”集合，$Y=\{y(a,b)=(a+b)ab|a,b∈I\}∩I$为“越”集合，$X=W∩Y$为“西子”集合。试求“西子”集合中最大数与最小数之和。
2. 如图，在四边形$ABCD$中，∠$ABC=$ ∠$ADC<90$°，以$AC$为直径的圆$O$与边$BC,CD$的另一个交点分别为$E,F$。$M$为$BD$的中点，$AN⊥BD$于点$N$。证明：$M,N,E,F$四点共圆。

3. 对于任一素数$p≥3$，证明：当正整数$x$足够大时，$x+1,x+2,...,x+\frac{p+3}{2}$中至少有一个整数有大于$p$的素因子。
4. 用一个喷头对一张$1×n$的方格纸条的每一格进行喷涂，当喷头对指定的第$i(1≤i≤n)$格喷涂时，该格被染成黑色，同时与第$i$格相邻的左侧方格和右侧方格（在存在的情况下）独立地各有$\frac{1}{2}$的概率也被染成黑色。设在最佳策略下（使喷涂次数尽可能少），喷完$n$个方格所需的次数期望值为$T(n)$。求$T(n)$的通项公式。

比赛总结

$Day\ 3$

$Day\ 4$

$Day\ 5$

整体总结

$Day\ 0$

$Day\ 1(13:30-17:30)$

1. 已知二次函数$f(x)=a(3a+2c)x^2-2b(2a+c)x+b^2+(c+a)^2$，$(a,b,c∈R)$，假设对于任意的$x∈R$都有$f(x)≤1$，求$|ab|$的最大值。
2. 如图，在△$ABC$中，$AB<AC$，$PB$和$PC$是△$ABC$外接圆$O$的切线，$R$是弧$AC$上的一个点，$PR$与圆$O$的另一个交点为$Q$。$I$是△$ABC$的内心，$ID$⊥$BC$于点$D$，$QD$与圆$O$的另一个交点为$G$。过点$I$且与$AI$垂直的直线与$AB,AC$分别相交于点$M,N$。证明：若$AR//BC$，则$A,G,M,N$四点共圆。

3. 设多项式$f(x)=x^{2020}+\sum\limits_{i=1}^{2019}c_ix^i$，其中$c_i∈\{-1,0,1\}$，记$N$为$f(x)=0$正整数根的个数（含重根），若$f(x)=0$无负整数根，求$N$的最大值。
4. 设$a_1,a_2,...,a_{17}$是$1,2,...,17$的一个排列，且满足$(a_1-a_2)(a_2-a_3)...(a_{16}-a_{17})(a_{17}-a_1)=n^{17}$。求正整数$n$的最大值。

$Day\ 2(8:00-12:00)$

1. 集合$I=\{1,2,...,2020\}$。称$W=\{w(a,b)=(a+b)+ab|a,b∈I\}∩I$为“吴”集合，$Y=\{y(a,b)=(a+b)ab|a,b∈I\}∩I$为“越”集合，$X=W∩Y$为“西子”集合。试求“西子”集合中最大数与最小数之和。
2. 如图，在四边形$ABCD$中，∠$ABC=$ ∠$ADC<90$°，以$AC$为直径的圆$O$与边$BC,CD$的另一个交点分别为$E,F$。$M$为$BD$的中点，$AN⊥BD$于点$N$。证明：$M,N,E,F$四点共圆。

3. 对于任一素数$p≥3$，证明：当正整数$x$足够大时，$x+1,x+2,...,x+\frac{p+3}{2}$中至少有一个整数有大于$p$的素因子。
4. 用一个喷头对一张$1×n$的方格纸条的每一格进行喷涂，当喷头对指定的第$i(1≤i≤n)$格喷涂时，该格被染成黑色，同时与第$i$格相邻的左侧方格和右侧方格（在存在的情况下）独立地各有$\frac{1}{2}$的概率也被染成黑色。设在最佳策略下（使喷涂次数尽可能少），喷完$n$个方格所需的次数期望值为$T(n)$。求$T(n)$的通项公式。

比赛总结

$Day\ 3$

$Day\ 4$

$Day\ 5$

整体总结

$Day\ 0$

$Day\ 1(13:30-17:30)$

1. 已知二次函数$f(x)=a(3a+2c)x^2-2b(2a+c)x+b^2+(c+a)^2$，$(a,b,c∈R)$，假设对于任意的$x∈R$都有$f(x)≤1$，求$|ab|$的最大值。
2. 如图，在△$ABC$中，$AB<AC$，$PB$和$PC$是△$ABC$外接圆$O$的切线，$R$是弧$AC$上的一个点，$PR$与圆$O$的另一个交点为$Q$。$I$是△$ABC$的内心，$ID$⊥$BC$于点$D$，$QD$与圆$O$的另一个交点为$G$。过点$I$且与$AI$垂直的直线与$AB,AC$分别相交于点$M,N$。证明：若$AR//BC$，则$A,G,M,N$四点共圆。

3. 设多项式$f(x)=x^{2020}+\sum\limits_{i=1}^{2019}c_ix^i$，其中$c_i∈\{-1,0,1\}$，记$N$为$f(x)=0$正整数根的个数（含重根），若$f(x)=0$无负整数根，求$N$的最大值。
4. 设$a_1,a_2,...,a_{17}$是$1,2,...,17$的一个排列，且满足$(a_1-a_2)(a_2-a_3)...(a_{16}-a_{17})(a_{17}-a_1)=n^{17}$。求正整数$n$的最大值。

$Day\ 2(8:00-12:00)$

1. 集合$I=\{1,2,...,2020\}$。称$W=\{w(a,b)=(a+b)+ab|a,b∈I\}∩I$为“吴”集合，$Y=\{y(a,b)=(a+b)ab|a,b∈I\}∩I$为“越”集合，$X=W∩Y$为“西子”集合。试求“西子”集合中最大数与最小数之和。
2. 如图，在四边形$ABCD$中，∠$ABC=$ ∠$ADC<90$°，以$AC$为直径的圆$O$与边$BC,CD$的另一个交点分别为$E,F$。$M$为$BD$的中点，$AN⊥BD$于点$N$。证明：$M,N,E,F$四点共圆。

3. 对于任一素数$p≥3$，证明：当正整数$x$足够大时，$x+1,x+2,...,x+\frac{p+3}{2}$中至少有一个整数有大于$p$的素因子。
4. 用一个喷头对一张$1×n$的方格纸条的每一格进行喷涂，当喷头对指定的第$i(1≤i≤n)$格喷涂时，该格被染成黑色，同时与第$i$格相邻的左侧方格和右侧方格（在存在的情况下）独立地各有$\frac{1}{2}$的概率也被染成黑色。设在最佳策略下（使喷涂次数尽可能少），喷完$n$个方格所需的次数期望值为$T(n)$。求$T(n)$的通项公式。

比赛总结

$Day\ 3$

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整体总结